`a)`
Sửa đề: Chứng minh `MBKJ` là hình chữ nhật
`→`Chứng minh `MPKJ` là hình chữ nhật
Gọi `D` là chân đường vuông góc kẻ từ `A` xuống `BC`
`E` là chân đường vuông góc kẻ từ `B` xuống `AC`
`F` là chân đường vuông góc kẻ từ `C` xuống `AB`
Xét `ΔABH` có:
`AM=BM(g``t)`
`BJ=HJ(g``t)`
`⇒MJ` là đường trung bình của `ΔABH`
`⇒MJ////AH` và `MJ=1/2AH(` tính chất đường trung bình của `Δ)(1)`
Xét `ΔACH` có:
`AP=CP(g``t)`
`CK=HK(g``t)`
`⇒PK` là đường trung bình của `ΔACH`
`⇒PK////AH` và `PK=1/2AH(` tính chất đường trung bình của `Δ)(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒MJ////PK` và `MJ=PK`
Xét tứ giác `MPKJ` có:
`MJ////PK(cmt)`
`MJ=PK(cmt)`
`⇒` tứ giác `MPKJ` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)(3)`
Vì `MJ////AH(cmt)`
Mà `D∈AH`
`⇒MJ////AD`
Xét `ΔABC` có:
`AM=BM(g``t)`
`AP=CP(g``t)`
`⇒MP` là đường trung bình của `ΔABC`
`⇒MP////BC(` tính chất đường trung bình của `Δ)`
Mà `AD⊥BC(g``t)`
`⇒MP⊥AD`
Mà `MJ////AD(cmt)`
`⇒MP⊥MJ(4)`
Từ `(3)` và `(4)⇒MPKJ` là hình chữ nhật `(` hình bình hành có `1` góc vuông là hình chữ nhật `)(đpcm)`
`b)`
Sửa đề:Chứng minh `MK=IM=JP`
`→` Chứng minh `MK=IN=JP`
Vì `MPKJ` là hình chữ nhật
`⇒MK=JP(` tính chất hình chữ nhật `)(5)`
Xét `ΔABC` có:
`AM=BM(g``t)`
`BN=CN(g``t)`
`⇒MN` là đường trung bình của `ΔABC`
`⇒MN////AC` và `MN=1/2AC(` tính chất đường trung bình của `Δ)(6)`
Xét `ΔAHC` có:
`AI=HI(g``t)`
`CK=HK(g``t)`
`⇒IK` là đường trung bình của `ΔAHC`
`⇒IK////AC` và `IK=1/2AC(` tính chất đường trung bình của `Δ)(7)`
Từ `(6)` và `(7)⇒MN////IK` và `MN=IK`
Xét tứ giác `MNKI` có:
`MN////IK(cmt)`
`MN=IK(cmt)`
`⇒` tứ giác `MNKI` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`
`⇒MK=IN(` tính chất hình bình hành `)(8)`
Từ `(5)` và `(8)⇒MK=IN=JP(đpcm)`
