Xét $∆AIB$ và $∆AMI$ có:
`\hat{A}` chung
`\hat{AIB}=\hat{AMI}=90°`
`=>∆AIB∽∆AMI` (g-g)
`=>{AI}/{AM}={AB}/{AI}`
`=>AI^2=AB.AM` $(1)$
$\\$
Xét $∆AIC$ và $∆ANI$ có:
`\hat{A}` chung
`\hat{AIC}=\hat{ANI}=90°`
`=>∆AIC∽∆ANI` (g-g)
`=>{AI}/{AN}={AC}/{AI}`
`=>AI^2=AC.AN` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>AB.AM=AC.AN`
`=>{AN}/{AB}={AM}/{AC}`
$\\$
Xét $∆ANM$ và $∆ABC$ có:
`\hat{A}` chung
`{AN}/{AB}={AM}/{AC}` (c/m trên)
`=>∆ANM∽∆ABC` (c-g-c)
`=>\hat{AMN}=\hat{ACB}`
`=>` Tứ giác $BMNC$ nội tiếp (đpcm)
(Tứ giác có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)