Gọi $H$ là giao điểm ba đường cao
Dễ dàng chứng minh được các tứ giác $BDHF,\ CDHE$ nội tiếp
$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{HDF}=\widehat{HBF}=\widehat{ABE}\\\widehat{HDE}=\widehat{HCE}=\widehat{ACF}\end{cases}$
Lại có: $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)
Do đó: $\widehat{HDF}=\widehat{HDE}$
$\Rightarrow \widehat{FDB}=\widehat{EDC}$
Mặt khác:
$BCEF$ là tứ giác nội tiếp
$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}= 90^\circ$
$\Rightarrow BC$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF$
$\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF$
Gọi $F'$ là điểm đối xứng $F$ qua $BC$
$\Rightarrow F'\in (M);\ FD = F'D$
Do tính chất đối xứng, ta được:
$\widehat{FDB}=\widehat{F'DB}$
mà $\widehat{FDB}=\widehat{EDC}$
nên $\widehat{F'DB}=\widehat{EDC}$
$\Rightarrow F', D, E$ thẳng hàng
Khi đó:
$DE + DF = DE + DF' = EF'\leqslant BC$ (dây cung $\leqslant$ đường kính)
Dấu $=$ xảy ra khi $EF'$ là đường kính
$\Leftrightarrow M\in EF'$
$\Leftrightarrow M\equiv D$
$\Leftrightarrow \triangle ABC$ cân tại $A$
