Gọi $N$ là giao điểm của $BD$ và $(O)$
Ta có:
`\hat{HAC}=\hat{DBC}` (cùng phụ `\hat{DCB}`)
`\hat{DBC}=\hat{NAC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CN}`
`=>\hat{IAC}=\hat{NAC}`
Mà tia $AC$ nằm giữa hai tia $AH$ và $AN$ nên $AC$ là phân giác của `\hat{HAN}`
Ta lại có:
$AC\perp BD$ (do $BD$ là đường cao $∆ABC$)
`=>AC`$\perp NH$
$∆ANH$ có $AC$ vừa là đường cao và phân giác
`=>∆ANH` cân tại $A$
`=>AC` cũng là đường trung trực của $NH$
`=>N` và $H$ đối xứng qua $AC$
Vì $M$ và $H$ đối xứng qua $AC$ (gt)
`=>N≡M`
Mà `N\in (O)=>M\in (O)`
Vậy $M$ thuộc $(O)$ (đpcm)