Giải thích các bước giải:
a.Kẻ $AK$ là đường kính của $(O)$
$\to KB\perp BA, KC\perp CA$
$\to KB//CH, KC//BH$
$\to KBHC$ là hình bình hành
$\to HK\cap BC$ là trung điểm mỗi đường
$\to M$ là trung điểm $HK$
Mà $I$ là trung điểm $AH\to MI$ là đường trung bình $\Delta HAK$
$\to MI//AK$
$\to IM//OA$
Ta có:
$\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o, \widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$
$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$
$BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\to\widehat{MFC}=\widehat{MCF}=\widehat{BCF}=\widehat{BEF}=\widehat{HEF}$
$\to MF$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $AEFH\to MF$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$
Tương tự $ME$ là tiếp tuyến của là tiếp đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$
b.Ta có $ME$ là tiếp tuyến của $(I)$
$\to\widehat{MEH}=\widehat{MNE}$
Mà $\widehat{EMH}=\widehat{EMN}$
$\to\Delta MEH\sim\Delta MNE(g.g)$
$\to\dfrac{ME}{MN}=\dfrac{MH}{ME}$
$\to MN.MH=ME^2=(\dfrac12BC)^2=\dfrac14BC^2$ vì $\Delta EBC$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $BC$
$\to 4MN.MH=BC^2$
