Giải thích các bước giải:
a.Vì $M$ là trung điểm $BC\to OM\perp BC$
Gọi $BD\cap CE=H\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp CB$
Gọi $AH\cap BC=F\to AF\perp BC$
$\to S_{ABC}=\dfrac12AF\cdot BC\le \dfrac12AM\cdot BC\le \dfrac12(AO+OM)\cdot BC=\dfrac12(R+OM)\cdot BC$
Dấu = xảy ra khi $F\equiv M\to A$ nằm giữa cung $BC$
b.Ta có $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^o$
$\to BEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\to \widehat{AED}=\widehat{ACB},\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$
$\to\Delta ADE\sim\Delta ABC(g.g)$
$\to \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AD}{AB})^2=\cos^2\hat A=\cos^2(\dfrac12\widehat{BOC})$ không đổi
$\to S_{ADE}=\cos^2(\dfrac12\widehat{BOC})\cdot S_{ABC}$
$\to S_{ADE}\le \cos^2(\dfrac12\widehat{BOC})\cdot \dfrac12(R+OM)\cdot BC$
Dấu = xảy ra khi $A$ nằm chính giữa cung $BC$
c.Ta có $B, O, C$ không đổi
$\to \hat A=\dfrac12\widehat{BOC}$ không đổi
Để $P_{ABC}$ lớn nhất $\to AB+AC+BC$ lớn nhất
$\to AB+AC$ lớn nhất
Xét $\Delta ABC$ có:
$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos\widehat{BAC}$
$\to BC^2=(AB+AC)^2-2AB\cdot AC-2AB\cdot AC\cdot \cos\widehat{BAC}$
$\to BC^2=(AB+AC)^2-2AB\cdot AC(1+ \cos\widehat{BAC})$
$\to BC^2\ge (AB+AC)^2-\dfrac{(AB+AC)^2}{2}(1+ \cos\widehat{BAC})$
$\to BC^2\ge (AB+AC)^2(1-\dfrac{1+ \cos\widehat{BAC}}{2})$
$\to BC^2\ge (AB+AC)^2\cdot \dfrac{1- \cos\widehat{BAC}}{2}$
$\to (AB+AC)^2\le \dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}$
$\to AB+AC\le \sqrt{\dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}}$
$\to AB+AC+BC\le BC+ \sqrt{\dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}}$
$\to P_{ABC}\le BC+ \sqrt{\dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}}$
Dấu = xảy ra khi $AB=AC\to A$ nằm chính giữa cung $BC$
d.Từ câu b
$\to \dfrac{P_{ADE}}{P_{ABC}}=\dfrac{AE}{AC}=\cos\widehat{BAC}$
$\to P_{ADE}=\cos\widehat{BAC}\cdot P_{ABC}$
$\to P_{ADE}\le \cos\widehat{BAC}\cdot (BC+ \sqrt{\dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}})$
Dấu = xảy ra khi $ A$ nằm chính giữa cung $BC$
