$\bullet \,\,\,\,\,$Chứng minh: $MD.IA=MP.IC$
$ABDC$ nội tiếp $\left( O \right)$
$\to \widehat{ACB}=\widehat{ADB}$ ( cùng chắn $\overset\frown{AB}$ )
$\to \widehat{ACI}=\widehat{PDM}$
Mặt khác:
$PM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AIM$
$MA$ là dây cung của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AIM$
Nên $\widehat{PMA}$ bằng $\dfrac{1}{2}$ số đo cung nhỏ $\overset\frown{AM}$
Mà $\widehat{PMA}$ và $\widehat{PMD}$ là hai góc kề bù
Nên $\widehat{PMD}$ bằng $\dfrac{1}{2}$ số đo cung lớn $\overset\frown{AM}$
$\to \widehat{PMD}=\widehat{AIM}$
$\to \widehat{PMD}=\widehat{AIC}$
Xét $\Delta AIC$ và $\Delta PMD$, ta có:
$\widehat{ACI}=\widehat{PDM}$ ( cmt )
$\widehat{AIC}=\widehat{PMD}$ ( cmt )
$\to \Delta AIC\sim\Delta PMD$
$\to \dfrac{IA}{MP}=\dfrac{IC}{MD}$
$\to MD.IA=MP.IC$
$\bullet \,\,\,\,\,$Tính tỉ số: $\dfrac{MP}{MQ}$
Cmtt như trên:
$ABDC$ nội tiếp $\left( O \right)$
$\to \widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ ( cùng chắn $\overset\frown{AC}$ )
$\to \widehat{ABI}=\widehat{QDM}$
$QM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AIM$
$AM$ là dây cung của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AIM$
$\to \widehat{QMA}=\widehat{AIM}$
Mà:
$\widehat{QMA}$ và $\widehat{QMD}$ là hai góc kề bù
$\widehat{AIM}$ và $\widehat{AIB}$ là hai góc kề bù
Nên $\widehat{QMD}=\widehat{AIB}$
Xét $\Delta AIB$ và $\Delta QMD$, ta có:
$\widehat{ABI}=\widehat{QDM}$ ( cmt )
$\widehat{AIB}=\widehat{QMD}$ ( cmt )
$\to \Delta AIB\sim \Delta QMD$
$\to \dfrac{IA}{MQ}=\dfrac{IB}{MD}$
$\to MD.IA=MQ.IB$
Mà $MD.IA=MP.IC$ ( mới chứng minh ở trên )
Nên $MQ.IB=MP.IC$
Trong khi đó $IB=IC$ ( do $I$ là trung điểm $BC$ )
Vậy $MQ=MP$
Hay nói cách khác $\dfrac{MP}{MQ}=1$
