a) Xét $∆OAB$ có:
$AB = OA = OB = R$
$\Rightarrow ∆OAB$ đều
$\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{ABC}=60^o$
$\Rightarrow AC = AB.\tan\widehat{ABC}=R.\tan60^o = R\sqrt3$
b) Xét $∆OAB$ đều có
$M$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AB$
$\Rightarrow OM =\dfrac{R\sqrt3}{2}$
mà $D\in OM$
nên $DA = DB$
$\Rightarrow ∆DAO=∆DBO\, (c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{DBO}=\widehat{DAO}=90^o$
$\Rightarrow OB\perp DB$
$\Rightarrow BD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆DAO$ vuông tại $A$ đường cao $AM$ ta được:
$OA^2 = OM.OD$
$\Rightarrow OD =\dfrac{OA^2}{OM}=\dfrac{R^2}{\dfrac{R\sqrt3}{2}}=\dfrac{2R\sqrt3}{3}$
$AD.OA = AM.OD = 2S_{OAD}$
$\Rightarrow AD =\dfrac{AM.OD}{OA}=\dfrac{\dfrac{R}{2}\cdot\dfrac{R\sqrt3}{2}}{R}=\dfrac{R\sqrt3}{4}$
