Kẻ đường cao $AD \, (D\in BC)$
Kẻ đường cao $OD' \, (D'\in BC)$
$\Rightarrow AD//OD'$
Áp dụng định lý Thales, ta được:
$\dfrac{OD'}{AD} = \dfrac{OA'}{AA'}$
$\Leftrightarrow \dfrac{OA'}{AA'} = \dfrac{\dfrac{1}{2}OD'.BC}{\dfrac{1}{2}AD'.BC} = \dfrac{S_{BOC}}{S_{ABC}}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\dfrac{OB'}{BB'} = \dfrac{S_{AOC}}{S_{ABC}}$
$\dfrac{OC'}{CC'} = \dfrac{S_{AOB}}{S_{ABC}}$
$\Rightarrow \dfrac{OA'}{AA'} + \dfrac{OB'}{BB'} + \dfrac{OC'}{CC'} = \dfrac{S_{BOC} + S_{AOC} + S_{AOB}}{S_{ABC}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = 1$