Sửa đề: $ΔABC$ vuông tại $A$
a) Xét tứ giác $AEDF$ có:
$\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$
$\Rightarrow AEDF$ là hình chữ nhật
mà $AD$ là phân giác của $\widehat{A}$
nên $AEDF$ là hình vuông
b) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 169$
$\Rightarrow BC = 13 \, cm$
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:
$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{BC - BD}$
$\Leftrightarrow AB(BC - BD) = BD.AC$
$\Leftrightarrow BD = \dfrac{AB.BC}{AB + AC} = \dfrac{5.13}{5 + 12} = \dfrac{65}{17} \, cm$
$\Rightarrow CD = BC - BD = 13 - \dfrac{65}{17} = \dfrac{156}{17} \, cm$
c) Đặt $AE = ED = DF = FA = x$
Ta có: $S_{ABD} = \dfrac{1}{2}AB.ED = \dfrac{5}{2}x$
$S_{ACD} = \dfrac{1}{2}AC.DF = 6x$
Mặt khác: $S_{ABD} + S_{ACD} = S_{ABC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x + 6x = \dfrac{1}{2}.5.12$
$\Leftrightarrow \dfrac{17}{2}x = 30$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{60}{17} \, cm$
$\Rightarrow P_{AEDF} = 4x = \dfrac{240}{17} \, cm$
$\Rightarrow S_{AEDF} = x^2 = \dfrac{3600}{289} \, cm^2$
