Ta đi chứng minh đẳng thức $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A.\tan B.\tan C$
$\begin{array}{l} A + B + C = \pi \\ \to \tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi - C} \right)\\ \to \dfrac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} = - \tan C\\ \to \tan A + \tan B = - \tan C + \tan A\tan B\tan C\\ \to \tan A + \tan B + \tan C=\ tanA \ tanB \ tanC \end{array}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số với
$\tan A>0, \ tanB >0,\ tanC>0$
$\begin{array}{l} \tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{{\tan A\tan B\tan C}}\\ \Leftrightarrow \tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{{\tan A + \tan B + \tan C}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)^3} \ge 27\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)^2} \ge 27\\ \Leftrightarrow \tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt 3 \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\tan A = \tan B = \tan C \Leftrightarrow A = B = C = \dfrac{\pi }{3}$
