a) Xét \(\Delta CBE\) có:
\(CB=CE\left(gt\right)\)
=> \(\Delta CBE\) cân tại C.
=> \(\widehat{CBE}=\widehat{CEB}\) (tính chất tam giác cân).
Vì \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{ACD}=\widehat{DCB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}.\)
Hay \(\widehat{ACB}=2\widehat{ACD}=2\widehat{DCB}\) (1).
Lại có: \(\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CEB}\) (vì \(\widehat{ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C của \(\Delta CBE\)).
=> \(\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CBE}\)
=> \(\widehat{ACB}=2\widehat{CBE}\) (2).
Từ (1) và (2) => \(2\widehat{DCB}=2\widehat{CBE}.\)
=> \(\widehat{DCB}=\widehat{CBE}.\)
Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.
=> \(CD\) // \(EB.\)
b) Vì \(CD\) // \(EB\left(cmt\right)\)
=> \(CK\) // \(EB.\)
=> \(\widehat{CFE}=\widehat{FEB}\) (vì 2 góc so le trong).
Mà \(\widehat{CEF}=\widehat{FEB}\) (vì \(EF\) là tia phân giác của \(\widehat{CEB}\))
=> \(\widehat{CFE}=\widehat{CEF}.\)
Vì \(\Delta KCF\) vuông tại \(K\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{KFC}+\widehat{KCF}=90^0\) (tính chất tam giác vuông) (3).
Vì \(\Delta KCE\) vuông tại \(K\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{KEC}+\widehat{KCE}=90^0\) (tính chất tam giác vuông) (4).
Vì \(\widehat{CFE}=\widehat{CEF}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{KFC}=\widehat{KEC}\) (5).
Từ (3) ; (4) và (5) => \(\widehat{KCF}=\widehat{KCE}.\)
=> \(CK\) là tia phân giác của \(\widehat{ECF}\left(đpcm\right).\)
