a) Ta có:
$EK//AC$
$\Rightarrow CK//CH$
$\Rightarrow \dfrac{IH}{ID}=\dfrac{EC}{DE}=\dfrac13$
$DH//AB$
$\Rightarrow DH//AK$
$\Rightarrow \dfrac{IK}{IE}=\dfrac{SB}{DE}=\dfrac13$
Do đó:
$\dfrac{IH}{ID}=\dfrac{IK}{IE}$
$\Rightarrow HK//DE$
$\Rightarrow HK//DB$
Ta lại có:
DH//AB$
$\Rightarrow BDHK$ là hình bình hành
$\Rightarrow HK=DB;\, HK//DB$
$\Rightarrow HK=BC;\, HK//BC$
$\Rightarrow BCKH$ là hình bình hành
b) Dễ dàng chứng minh được $IHKA$ là hình bình hành $(IH//AK;\, IK//AH)$
$\Rightarrow IA, HK$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Gọi $IA\cap HK=\left\{O\right\}$
$\Rightarrow OI = OA;\, OH = OK$
Xét $∆AOK$ và $∆AMB$ có:
$\widehat{AKO}=\widehat{ABM}$ (so le trong)
$\widehat{OAK}=\widehat{MAB}$ (đối đỉnh)
$AK = AB$ ($BCKH$ là hình bình hành)
Do đó $∆AOK=∆AMB\, (g.c.g)$
$\Rightarrow BM = OK$
Chứng minh tương tự, ta được:
$∆AMC=∆AOH\, (g.c.g)$
$\Rightarrow MC = OH$
mà $OH = OK$
nên $BM = MC$
