Ta có: $M$ là trung điểm $AC$ $(gt)$
$N$ là trung điểm $AB$ $(gt)$
⇒ $MN$ là đường trung bình
⇒ $MN//BC; \, MN = \dfrac{BC}{2}$
Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $CE = MN$
⇒ $MNDE$ là hình bình hành
⇒ $ME//CN$
mà $CN\perp BM$
⇒ $ME\perp BM$
⇒ $ΔMBE$ vuông tại $M$
Từ $M$ kẻ đường cao $MK$ $(K \in BE)$
Ta được:
$\dfrac{1}{MK^2} = \dfrac{1}{ME^2} + \dfrac{1}{BM^2}$ (hệ thức lượng)
Mặt khác: $MK//AH \, (\perp BC)$
$CM = MA$ $(gt)$
⇒ $MK = \dfrac{AH}{2}$ (tính chất đường trung bình)
$ME = CN$ ($MNCE$ là hình bình hành)
Do đó ta được:
$\dfrac{1}{MK^2} = \dfrac{1}{ME^2} + \dfrac{1}{BM^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{(\dfrac{AH}{2})^2} = \dfrac{1}{CN^2} + \dfrac{1}{BM^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{AH^2}{4}} = \dfrac{1}{CN^2} + \dfrac{1}{BM^2}$
hay $\dfrac{4}{AH^2} = \dfrac{1}{CN^2} + \dfrac{1}{BM^2}$ $(đpcm)$