Từ $B$ kẻ đường cao $BD$
Từ $N$ kẻ đường cao $NH$
Ta được:
$∆ABD\sim ∆MNH\, (g.g)$
$\to \dfrac{AB}{MN}=\dfrac{BD}{NH}$
$\to \dfrac{AB}{MN}=\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{AC}}{\dfrac{2S_{MNP}}{MP}}$
$\to \dfrac{AB}{MN} = \dfrac{MP}{AC}\cdot\dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}}\quad (1)$
Từ $C$ kẻ đường cao $CE$
Từ $P$ kẻ đường cao $PK$
Ta được:
$∆ACE\sim ∆MPK\, (g.g)$
$\to \dfrac{AC}{MP}=\dfrac{CE}{PK}$
$\to \dfrac{AC}{MP}= \dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{AB}}{\dfrac{2S_{MNP}}{MN}}$
$\to \dfrac{AC}{MP}=\dfrac{MN}{AB}\cdot\dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}}\quad (2)$
Nhân vế theo vế của $(1)$ và $(2)$ ta được:
$\dfrac{AB}{MN}\cdot\dfrac{AC}{MP} =\dfrac{MP}{AC}\cdot\dfrac{MN}{AB}\cdot\left(\dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}}\right)^2$
$\to \left(\dfrac{AB}{MN}\cdot\dfrac{AC}{MP}\right)^2 = \left(\dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}}\right)^2$
$\to \dfrac{AB}{MN}\cdot\dfrac{AC}{MP} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}}$
$\to \dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{MN.MP}{AB.AC}$
