`ΔABC` vuông cân tại `A => AB = AC; \hat{BAC} = 90^o`
Xét `ΔABH` và `ΔCAK` có:
`\hat{AHB} = \hat{CKA} = 90^o`
`AB=AC(nt)`
`\hat{BAH} = \hat{ACK}` (cùng phụ với `\hat{KAC}`)
`=> ΔABH=ΔCAK (CH-GN)`
`=> BH = AK` (2 cạnh tương ứng)
`ΔABC` vuông cân tại A có AM là đường trung tuyến
`=> AM = 1/2 BC = MB = MC`
Ta có: `\hat{KAM}` phụ với `\hat{AEM}`
`\hat{MBH}` phụ với `\hat{BEH}`
mà `\hat{AEM}=\hat{BEH}` (2 góc đối đỉnh)
`=> \hat{KAM} = \hat{MBH}`
Xét `ΔAMK` và `ΔBMH` có:
`AM=BM(cmt)`
`\hat{KAM}=\hat{MBH}`(cmt)`
`AK = BH(cmt)`
`=> ΔAMK=ΔBMH (c.g.c)`
`=> MK = MH` (2 cạnh tương ứng)
`=> ΔMHK` cân tại `M` (1)
Xét `ΔABC` vuông cân tại A có AM là đương trung tuyến
`=> AM đồng thời là đường cao`
`=> \hat{AMB} = 90^o`
Có: `\hat{AMK}=\hat{BHM}` (do `ΔAMK=ΔBHM`)
`=> \hat{AMK} + \hat{KME} = \hat{BHM} + \hat{KME}`
`=> \hat{AMB} = \hat{KMH} -> \hat{KMH} = 90^o` (2)
Từ (1) và (2) `=> ΔMHK` vuông cân tại M
