Đáp án:
Tam giác DEF vuông cân tại D.
Giải thích các bước giải:
Tam giác ABC vuông cân tại C \( \Rightarrow \widehat {CAB} = \widehat {CBA} = {45^0}\).
Xét tam giác AME có: \(\widehat {AEM} = {90^0};\,\,\widehat {EAM} = \widehat {CAB} = {45^0}\).
\( \Rightarrow \Delta AME\) vuông cân tại E \( \Rightarrow AE = EM\).
CMTT ta có tam giác BMF vuông cân tại F \( \Rightarrow MF = BF\).
Xét tứ giác \(CEMF\) có \(\widehat {CEM} = \widehat {CFM} = \widehat {ECF} = {90^0}\).
\( \Rightarrow CEMF\) là hình chữ nhật (dhnb) \( \Rightarrow EM = CF,\,\,MF = CE\).
\( \Rightarrow EM = CF = AE,\,\,MF = CE = BF\).
Tam giác ABC vuông cân tại C \( \Rightarrow \) Trung tuyến CD đồng thời là đường cao, phân giác
\( \Rightarrow CD \bot AB\) và \(\widehat {BCD} = {45^0}\).
Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta CFD\) có:
\(AE = CF\);
\(AD = CD\) (tam giác ACD vuông cân tại D)
\(\widehat {DAE} = \widehat {DCF} = {45^0}\).
\( \Rightarrow \Delta AED = \Delta CDF\,\,\left( {c.g.c} \right)\).
\( \Rightarrow DE = DF\,\,\left( 1 \right)\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {ADE} = \widehat {CDF}\) (hai góc tương ứng).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {ADE} + \widehat {CDE} = \widehat {CDF} + \widehat {CDE}\\ \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {EDF}\end{array}\)
Mà \(\widehat {ADC} = {90^0}\,\,\left( {CD \bot AB} \right) \Rightarrow \widehat {EDF} = {90^{0\,}}\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra tam giác DEF vuông cân tại D.
