Bạn tự vẽ hình ra.
a) Ta xét tam giác ACE và tam giác AKE đều là 2 tam giác vuông:
Có cạnh AE chung
Góc CAE = KAE ( giả thiết cho AE là tia phân giác góc BAC hay góc KAC )
=> Tam giác ACE = tam giác AKE ( theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn )
=> AC = AK ( hai cạnh tương ứng )
Có AC = AK ( cmt ) => A nằm trên đường trung trực của KC (1)
AK = EC ( Tam giác ACE = tam giác AKE ) => E nằm trên đường trung trực của KC (2)
Từ (1) và (2) => AE vuông góc với CK
b) Xét tam giác ABC vuông tại C có góc A = 60 độ => góc ABC = 30 độ
mà góc EAB = 30 ( giả thiết ) => tam giác EAB là tam giác cân tại E
mà EK vuông góc AB ( giả thiết ) => EK cũng là đường trung trực của tam giác AEB => KA = KB
c) Tam giác BEK là tam giác vuông => EB > BK
Có : BK = KA = AC
=> EB > AC
d) Ta dễ chứng minh được: tam giác DEB vuông tại D và góc B = 30 độ
=> DE = 1/2 BE ( Trong tam giác vuông có một góc bằng 30 độ thì thì cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền. )=> 2DE=BE
Ta cũng có tam giác ABC vuông tại C, góc B = 30 => AC = 1/2 AB => 2AC=AB
mà BE < AB ( bạn dễ dàng c/m được vì tam giác ABC thì cạnh AB lớn nhất )
=> 2DE < 2AC hay DE < AC
