Nếu `\hat{B}=30°=>tanB=\sqrt{3}/3;cosB=\sqrt{3}/2`
`=>\sqrt{3}/3+\sqrt{3}/2<2` (không thỏa mãn đề bài câu a)
`=>` sửa đề câu a: `tanB+cotB\ge 2`
`a)` Xét $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>tanB={AC}/{AB}; cotB={AB}/{AC}`
`=>tanB>0;cotB>0`
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với `tanB;cotB>0` ta có:
`\qquad tanB+cotB\ge 2\sqrt{tanB .cotB}`
`\ge 2\sqrt{{AC}/{AB}.{AB}/{AC}}=2`
Dấu "=" xảy ra khi:
`\qquad tanB=cotB=>{AC}/{AB}={AB}/{AC}`
`=>AB^2=AC^2=>AC=AB` hay $∆ABC$ vuông cân tại $A$
Vậy `tanB+cotB\ge 2` (đpcm)
$\\$
`b)` $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AB^2+AC^2=BC^2` (định lý Pytago)
$\\$
`\qquad sinB={AC}/{BC};cosB={AB}/{BC}`
Vì `sinB+cosB=\sqrt{2}` (gt)
`=>{AC}/{BC}+{AB}/{BC}=\sqrt{2}`
`=>{AC+AB}/{BC}=\sqrt{2}`
`=>AB+AC=\sqrt{2}BC`
`=>(AB+AC)^2=(\sqrt{2}BC)^2`
`=>AB^2+AC^2+2AB.AC=2BC^2`
`=>BC^2+2AB.AC=2BC^2`
`=>2AB.AC=BC^2`
Mà `AB^2+AC^2=BC^2`
`=>AB^2+AC^2=2AB.AC`
`=>AB^2+AC^2-2AB.AC=0`
`=>(AB-AC)^2=0`
`=>AB=AC=>∆ABC` cân tại $A$
Vì $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>∆ABC` vuông cân tại $A$
`=>\hat{B}=45°`
$\\$
`c)` $H$ là trung điểm $AB$ (gt)
`=>AB=2AH`
$\\$
Xét $∆HAK$ và $∆CIK$ có:
`\qquad \hat{K}` chung
`\qquad \hat{HAK}=\hat{CIK}=90°`
`=>∆HAK∽∆CIK` (g-g)
`=>{AH}/{IC}={AK}/{IK}`
`=>IC.AK=IK.AH`
$\\$
Xét $∆KIC$ vuông tại $I$
`=>tanC={IK}/{IC}`
Xét $∆ABK$ vuông tại $A$
`=>tan\hat{BKA}={AB}/{AK}`
`=>tan\hat{BKC}={AB}/{AK}`
$\\$
`=>tanC.tan\hat{BKC}={IK}/{IC} . {AB}/{AK}`
`={IK.AB}/{IC.AK}={IK.2AH}/{IK.AH}=2`
Vậy `tanC.tan\hat{BKC}=2` (đpcm)
