`a)` Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AH^2=BH .CH` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\\$
Xét $∆ACH$ có:
`\qquad E` là trung điểm $AC$ (gt)
`\qquad E F`//$AH$ (cùng $\perp BC$)
`=>F` là trung điểm $CH$
`=>E F` là đường trung bình $∆ACH$
`=>E F={AH}/2`
`=>E F^2={AH^2}/4`
`=>E F^2={BH.CH}/4` (đpcm)
$\\$
`b)` Xét $∆HAC$ và $∆ABC$ có:
`\qquad \hat{C}` chung
`\qquad \hat{AHC}=\hat{BAC}=90°`
`=>∆HAC∽∆ABC` (g-g)
`=>{HA}/{AB}={HC}/{AC}` $(1)$
Vì `E;F` lần lượt là trung điểm $AC;HC$
`=>HC=2HF; AC=2AE`
Từ `(1)=>{HA}/{AB}={2HF}/{2AE}={HF}/{AE}`
$\\$
Xét $∆AHF$ và $∆BAE$ có:
`\qquad \hat{AHF}=\hat{BAE}=90°`
`\qquad {HA}/{AB}={HF}/{AE}` (c/m trên)
`=>∆AHF∽∆BAE` (c-g-c)
`=>{AF}/{BE}={HA}/{AB}` $(2)$
$\\$
Xét $∆AHC$ vuông tại $H$
`=>cosC=cos\hat{ACH}={HC}/{AC}` $(3)$
$\\$
Từ `(1);(2);(3)=>{A F}/{BE}={HC}/{AC}=cosC`
`=>A F=BE cos C` (đpcm)
