Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) áp dụng định lý Pytago vào Δ ABC vuông tại A có:
BC² = AB² + AC² = 15² +20² = 625 ⇒ BC =25
áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác vào tam giác ABC có:
$\frac{CD}{AD}$ = $\frac{CB}{AB}$ ⇔ $\frac{AC-AD}{AD}$ = $\frac{25}{15}$
⇔ $\frac{AC}{AD}$ -1=$\frac{5}{3}$ ⇔ $\frac{20}{AD}$ = $\frac{8}{3}$
⇔ AD = $\frac{3.20}{8}$=7,5
b) Xét Δ ABH và Δ CBA có: góc AHB = góc CAB =90; góc B chung
⇒ Δ ABH đồng dạng với Δ CBA (đpcm)
c) vì Δ ABH đồng dạng với Δ CBA ⇒$\frac{BH}{BA}$ = $\frac{AB}{CB}$
⇒ BH = $\frac{AB²}{CB}$ = 9
áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có:
AH² = AB² - BH²= 15² - 9² =144 ⇒ AH = 12
d) vì BD là tia phân giác của góc ABC nên góc ABD = góc HBE
xét Δ ABD và Δ HBE có:
góc BAD = góc BHE =90; góc ABD = góc HBE
⇒ Δ ABD đồng dạng với Δ HBE ⇒ $\frac{BD}{BE}$ = $\frac{AD}{HE}$ ⇒ BD.HE=BE.AD (đpcm)
e) áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác vào tam giác ABH có:
$\frac{EH}{AE}$ = $\frac{BH}{AB}$ ⇒ $\frac{AH-AE}{AE}$ = $\frac{9}{15}$
⇒ $\frac{AH}{AE}$ -1= $\frac{3}{5}$ ⇒ $\frac{12}{AE}$ = $\frac{8}{5}$
⇒ AE = $\frac{5.12}{8}$ =7,5
⇒ AE =AD = 7,5 ⇒ ΔADE cân tại A
ΔADE cân tại A có AM là đường trung tuyến ⇒ AM cũng là đường cao
⇒ AM ⊥ DE ⇒ AN ⊥ BM
tam giác ABN có: BM ⊥ AN; AH ⊥ AB; BM ∩ AH = E
⇒ E là trực tâm của Δ ABN ⇒ NE ⊥ AB (đpcm)
