a)Ta có : BE là tia phân giác của ∠B (gt)
⇒ ∠ABE = ∠CBE = $\frac{∠ABC}{2}$
Xét ΔABE và ΔHBE có :
AB = HB (gt)
∠ABE = ∠CBE (cmt)
BE là cạnh chung (Cách Vẽ)
(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔABE = ΔHBE (c-g-c)
⇒ ∠BAE = ∠BHE (2 góc tương ứng) (1)
Mà ∠BAE + ∠BHE = 180 độ (2 góc kề bù) (2)
Từ (1) và (2) ⇒∠BAE = ∠BHE = $\frac{180}{2}$ = 90 độ
⇒ EH ⊥ BC (đpcm).
b) Gọi giao điểm của AH và BE là O.
Xét ΔABO và ΔHBO có :
AB = HB (gt)
∠ABO = ∠CBO (cmt)
BO là cạnh chung (Cách Vẽ)
(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔABO = ΔHBO (c-g-c)
⇒ ∠BOA = ∠BOH ( 2 góc tương ứng ) và AO = HO ( 2 cạnh tương ứng)
Ta có : AO = HO (cmt)
Mà A,O,B thẳng hàng.
(Gộp cả 2 lại) ⇒ O là trung điểm của AH.
Ta có : ∠BOA = ∠BOH (cmt)
Mà ∠BOA + ∠BOH = 180 độ (2 góc kề bù)
(Gộp cả 2 lại) ⇒ ∠BOA = ∠BOH = $\frac{180}{2}$ = 90 độ.
⇒ AH ⊥ BE. (1)
Ta lại có : O là trung điểm của AH (cmt). (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BE là đường trung trực của AH.(Định Nghĩa đường trung trực).
c) Ta có : ΔABE = ΔHBE (cmt)
⇒ AE = HE (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔAKE và ΔHCE có :
∠AEK = ∠HEC (2 góc đối đỉnh)
AE = HE (cmt)
∠EAK = ∠EHC (cùng = 90 độ)
(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔAKE = ΔHCE (Cạnh Góc Vuông - Góc Nhọn)
⇒ EK = EC (2 cạnh tương ứng).
d) + e) Ta có : ΔAKE = ΔHCE (cmt)
⇒ AK = HC (2 cạnh tương ứng).
Ta có : H ∈ BC (cách vẽ).
⇒ BH + HC = BC.
Ta có : B,A,K thẳng hàng (cách vẽ)
⇒ BA + AK = BK.
Mà : BH + HC = BC.
: BA = BH (gt)
: AK = HC (cmt)
(Gộp cả 4 cái trên lại) ⇒ BK = BC.
Gọi giao điểm của BE và KC là I.
Xét ΔBKI và ΔBCI có :
BK = BC (cmt)
∠ABO = ∠CBO (cmt)
BI là cạnh chung.
(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔBKI = ΔBCI (c-g-c).
⇒∠BIK = ∠BIC (2 góc tương ứng)
Mà ∠BIK + ∠BIC = 180 độ.
(Gộp cả 2 cái trên) ⇒ ∠BIK = ∠BIC = $\frac{180}{2}$ = 90 độ.
⇒ BE ⊥ KC (đpcm) (3)
Mà BE ⊥ AH (cmt) (4)
Từu (3) và (4) ⇒ AH // KC (Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng //)
g) Ta có : BK = BC (cmt)
⇒ ΔKCB là Δ cân tại B (Định Nghĩa Δ Cân).
