a) Ta có :
`+)DM⊥AB` ( do `M` là hình chiếu của `D` trên `AB` )
`⇒\hat{DMA}=90^0`
`+)DN⊥AC` ( do `N` là hình chiếu của `D` trên `AC` )
`⇒\hat{DNA}=90^0`
`+)ΔABC` vuông tại `A`
`⇒\hat{MAN}=90^0`
*) Từ `3` điều trên ⇒ Tứ giác `AMDN` là hình chữ nhật
*) Theo đề bài ta có `AD` là phân giác `\hat{MAN}`
mà `AD` là đường chéo của hình chữ nhật `AMDN `
⇒Tứ giác `AMDN` là hình vuông
*) Vì tứ giác `AMDN` là hình vuông
`⇒MD`//`AN`
`⇒ME`//`AN`
`⇒(BE)/(BN)=(BM)/(AB)=(ME)/(AN)` (1)
*) Vì tứ giác `AMDN` là hình vuông
`⇒DN`//`MA`
`⇒DN`//`AB`
`⇒(DN)/(AB)=(CD)/(CB)=(CN)/(AC)` (2)
*) Vì tứ giác `AMDN` là hình vuông
`⇒DN`//`MA`
`⇒DF`//`BM`
`⇒(DF)/(BM)=(CD)/(CB)=(CF)/(CM)` (3)
*) Từ `(2)` và `(3) `
`⇒ (DN)/(AB) = (DF)/(BM)`
`⇒(BM)/(AB)=(DF)/(DN)` (4)
*) Từ `(1)` và `(4) `
`⇒(DF)/(DN)=(BE)/(BN)`
`⇒EF`//`BD` (hệ quả Ta-lét)
`⇒EF`//`BC`
b)
*) Gọi giao của `AF` và `BN` là `I` ; `AE` và `CM` là `O`
*) Vì tứ giác `AMDN` là hình vuông
`⇒DN`//`MA`
`⇒FN`//`MA`
`⇒(FN)/(MA)=(CF)/(CM)=(CN)/(CA) `
mà `(DN)/(AB)=(CN)/(AC)` (từ `(2)`)
`⇒(FN)/(MA)=(DN)/(AB)`
`⇒(FN)/(DN)=(MA)/(AB)`
mà `DN=AN=AM` (do tứ giác `AMDN` là hình vuông)
`⇒(FN)/(AN)=(AN)/(AB)`
*) Xét `ΔANB` và `ΔNFA`
`+) (FN)/(AN)=(AN)/(AB) (cmt)`
`+) \hat{BAN}=\hat{ANF}(=90^0)`
`⇒ΔANB ~ ΔNFA (cgc) (đpcm)`
`⇒ \hat{ABN}= \hat{NAF}`
mà `\hat{ABN}+ \hat{BNA}=90^0 `
`⇒ \hat{NAF}+ \hat{BNA}=90^0`
`⇒ \hat{AIN}=90^0`
`⇒AF⊥BN`
`⇒EI⊥AF` (5)
*)Cmtt với `ΔAME ~ ΔCAM` và `FO⊥AE` (6)
*) Ta có : `BN` giao `CM` tại `H`
`⇒EI` giao `FO` tại `H`
mà ta có `(5)` và `(6)`
`⇒H` là trực tâm `ΔAEF`
