a) Tứ giác AHKC có:
I là trung điểm của HC
I là trung điểm của AK (Vì A và K đối xứng với nhau qua I)
⇒ Tứ giác AHKC có hai đường chéo AK và HC cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn
⇒ Tứ giác AHKC là hình bình hành (DHNB)
b) Tứ giác AMHN có:
$\widehat{BAC} = \widehat{HMA} = \widehat{HNA} = 90^{o}$ (Vì ΔABC vuông tại A, HM ⊥ AB, HN ⊥ AC)
⇒ Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (DHNB)
⇒ Hai đường chéo AH và MN bằng nhau (1) và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (T/c)
Mà AH ∩ MN = {O}
Nên O là trung điểm chung của AH và MN (2)
Từ (1) và (2) ⇒ OA = OM = ON = OH
⇒ ΔOAN cân tại O (Đ/n)
⇒ $\widehat{OAN} = \widehat{ONA}$(3) (T/c)
c) Vì tứ giác AHKC là hình bình hành (cmt)
nên $\widehat{HKC} = \widehat{BAC}$(4) và AC // KH (T/c)
Lại có: KM // AC (⊥ AB)
⇒ KH và KM trùng nhau (Theo tiên đề Ơ-clit)
⇒ 3 điểm K, H, M thằng hàng
⇒ KM // AC
Từ (3) và (4) ⇒ $\widehat{HKC} = \widehat{ONA}$
Mà $\widehat{ONA} = \widehat{KMN}$ (2 góc SLT, AN // HM)
Nên $\widehat{HKC} = \widehat{KMN}$
Tứ giác NCKM có: KM // NC (Vì KM // AC , N ∈ AC)
⇒ Tứ giác NCKM là hình thang (Đ/n)
HÌnh thang NCKM (NC // KM) có: $\widehat{HKC} = \widehat{ONA}$
⇒ Hình thang NCKM là hình thang cân (DHNB)
d) Vì tứ giác AHKC là hình bình hành (cmt)
nên KC = AH (T/c) và KC // AH
Mà AH = 2OA (Vì O là trung điểm của AH)
⇒ KC = 2OA
ΔDCK có: OA // KC (Vì AH // KC, O ∈ AH)
O ∈ CD, A ∈ KD
⇒ $\dfrac{KC}{OA} = \dfrac{DK}{AD}$ (Đl Ta let)
Hay $\dfrac{DK}{AD} = 2$ ⇒ DK = 2AD
Lại có: AK = DK + AD (Vì D nằm giữa A và K)
Do đó: AK = 2AD + AD = 3AD
