a) Tứ giác $ANMP$ có $\widehat A=\widehat N=\widehat P=90^o$

Nên tứ giác $ANMP$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có 3 góc bằng $90^o$ là hình chữ nhật)

b) Tam giác $ABC$ có $MN\parallel AC$ (do cùng $\bot AB$) và $M$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết)

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow NA=NB$ (đpcm)

$\Delta ABC$ có $PM\parallel AB$ (vì cùng $\bot AC$) và $M$ là trung điểm của $BC$ (gt)

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow P$ là trung điểm cạnh $AC$

$\Rightarrow PA=PC$ (đpcm)

$MP$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow MP\parallel AB$, $MP\parallel BN$

Và $MP=\dfrac{1}{2}.AB$, $MP=BN$

$\Rightarrow BMPN$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có cặp cạnh đối song song bằng nhau là hình bình hành)

c) Tứ giác $ANMP$ là hình chữ nhật có 2 đường chéo $AM\cap NP=F$

$\Rightarrow F$ là trung điểm cạnh $AM$

và $E$ là trung điểm cạnh $BM$ (giả thiết )

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ABM$

$\Rightarrow EF\parallel AB\Rightarrow ABEF$ là hình thang (1)

Ta có $NF$ là đường trung bình $\Delta ABM$ (do $N$ là trung điểm của $AB$ và $F$ là trung điểm của $AM$)

$\Rightarrow NF=\dfrac{1}{2}.BM=BE=EM$ mà tứ giác $ANMP$ là hình chữ nhất nên $AF=NF$

suy ra $BE=AF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ABEF$ là hình thang cân (hình thang có 2 cạnh kề đáy bằng nhau là hình thang cân)

Tứ giác $MENF$ có $NF\parallel=EM\Rightarrow MENF$ là hình bình hành

tứ giác $ANMP$ là hình chữ nhật nên $NF=MF$

Nên tứ giác $MENF$ là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi)

d) $\Delta ABH\bot H$ có $HN$ là đường trung tuyến với cạnh huyền $AB$ nên $NH=NB=NA$

$\Rightarrow \Delta BHN$ cân đỉnh $N$

$\Rightarrow \widehat{NBH}=\widehat{NHB}$

$\Delta AHC\bot H$ có đường trung tuyến $HP$ ứng với cạnh huyền $AC$ nên $HP=PA=PC$

$\Rightarrow \Delta PHC$ cân đỉnh $P\Rightarrow \widehat{PHC}=\widehat{PCH}$

Ta có: $\widehat{NHB}+\widehat{PHC}=\widehat{NBH}+\widehat{PCH}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{NHP}=180^o-(\widehat{NHB}+\widehat{PHC})=90^o$

$\Rightarrow NH\bot PH$ (*)

Do $MK\parallel AH$ mà $AH\bot BC$

$\Rightarrow MK\bot BC$

$\Delta KBC$ có $KM$ vừa là trung tuyến và $KM$ vừa là đường cao

$\Rightarrow \Delta KBC$ là tam giác cân đỉnh $K$

$\Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{KCH}$ (3)

Mà $\Delta PHC$ có $HP=PC\Rightarrow \Delta HPC$ cân đỉnh $P$

$\Rightarrow \widehat{PCH}=\widehat{PHC}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{KBC}=\widehat{PHC}$ mà chúng ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow BK\parallel HP$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $BK\bot NH$ (đpcm)