Đáp án:
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}$=$90^{o}$
Vì HD⊥AB nên $\widehat{ADH}$=$90^{o}$
Vì HE⊥AC nên $\widehat{AEH}$=$90^{o}$
Xét tứ giác ADHE có $\widehat{ABC}$=$\widehat{ADH}$=$\widehat{AEH}$=$90^{o}$
⇒ tứ giác ADHE là hình chữ nhật
Tam giác ABH và tam giác CBA đồng dạng nên $\frac{AB}{CB}$ =$\frac{AH}{CA}$
⇒ AB.AC=AH.BC (đpcm)
b) Vì ADHE là hình chữ nhật nên AE=DH và AE//DH hay PE//DH
Vì P là điểm đối xứng của A qua E nên PE=AE=DH
Xét tứ giác ADHE có PE//DH, PE=DH
⇒ DHPE là hình thoi
c) Vì AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM=MC hay tam giác AMC cân tại M
⇒ $\widehat{MAC}$=$\widehat{MCA}$
Ta có: $\widehat{AHE}$=$\widehat{BAH}$ (so le trong)
Vì HE//AD, HP//DE
⇒$\widehat{EHP}$=$\widehat{ADE}$
Mặt khác tứ giác DHPE là hình chữ nhật nên AV=VD
⇒$\widehat{ADE}$=$\widehat{BAH}$
⇒$\widehat{EHP}$=$\widehat{BAH}$
$\widehat{BAH}$=$\widehat{ACM}$ (vì cùng phụ với $\widehat{HAC}$)
$\widehat{ACM}$=$\widehat{MAC}$ nên $\widehat{BAH}$=$\widehat{MAC}$
⇒$\widehat{AHP}$+$\widehat{HAM}$=$\widehat{EHP}$+$\widehat{AHE}$+$\widehat{HAM}$
=$\widehat{BAH}$+$\widehat{BAH}$+$\widehat{HAM}$=$\widehat{MAC}$+$\widehat{HAM}$+$\widehat{BAH}$=$90^{o}$
⇒ $\widehat{AJH}$=$90^{o}$ hay AM⊥HP
Mà HP//DE nên DE⊥AM
Vì DE⊥AM, MG⊥AG, AH⊥BM
⇒ V là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác
⇒ AG, DE và BC đồng quy tại I (đpcm)
