Đáp án+Giải thích các bước giải:
$a)D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$
$\Rightarrow M$ là trung điểm $AD$
$HE = HA \Rightarrow H$ là trung điểm $AE$
$\Delta ADE$ có $M, H$ lần lượt là trung điểm $AD, AE$
$\Rightarrow MH$ là đường trung bình $\Delta ADE$
$\Rightarrow MH//DE, MH=\dfrac{1}{2}DE$
$b) ABDC$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow ABDC$ là hình bình hành
Mà $\widehat{BAC}=90^\circ$
$\Rightarrow ABDC$ là hình chữ nhật
$c) ABDC$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow MD=MB$
$\Rightarrow \Delta BMD$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{D_1}$
$HM // DE \Rightarrow BC//DE$
$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{D_2}$ (so le trong)
Mà $\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$
$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{D_2}$
$\Rightarrow DP$ là phân giác $\widehat{EDK}$
Mà $DP \perp EK$
$\Rightarrow \Delta EDK$ cân tại $D$
$\Rightarrow DE = DK$
$d) \Delta EDK$ cân tại $D$, phân giác $DP$ đồng thời là trung tuyến
$\Rightarrow P$ là trung điểm $EK$
$\Delta EKA$ có $P, H$ lần lượt là trung điểm $EK$ và $EA$
$\Rightarrow PH$ là đường trung bình $\Delta EKA$
$\Rightarrow PH//AK\\ \Rightarrow PH// AD (1)$
Tứ giác $EPDQ$ có $3$ góc vuông tại đỉnh $P, D, Q$
$\Rightarrow EPDQ$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \widehat{Q_1}=\widehat{D_2}$
Mà $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$
$\Rightarrow \widehat{Q_1}=\widehat{D_1}$
$\Rightarrow \widehat{Q_2}=\widehat{D_2}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau)
$\Rightarrow PQ//AD (2)$
$(1)(2) \Rightarrow H, P, Q$ thẳng hàng.
