Đáp án:
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}$=$90^{o}$
Vì HM⊥AB nên $\widehat{AMH}$=$90^{o}$
Vì HN⊥AC nên $\widehat{ANH}$=$90^{o}$
Xét tứ giác AMHN có $\widehat{ABC}$=$\widehat{AMH}$=$\widehat{ANH}$=$90^{o}$
⇒ tứ giác AMHN là hình chữ nhật
b) Vì I là trung điểm của HC ;K là điểm đối xứng của A qua I nên IH=IC, IA=IK
Xét tam giác AHI và KCI có:
IA=IK
IH=IC
$\widehat{AIH}$=$\widehat{KIC}$ (2 góc đối đỉnh)
⇒ ΔAHI= ΔKCI (c-g-c)
⇒ AH=KC (1)
$\widehat{IAH}$=$\widehat{IKC}$
⇒ AH//KC (2 góc so le trong bằng nhau) (2)
Từ (1) và (2)
⇒ ACKH là hình bình hành
⇒ AC//HK
c) Vì AC//HK nên NCKM là hình thang
Mặt khác $\widehat{NMH}$=$\widehat{HAN}$=$\widehat{HKC}$
⇒ NCKM là hình thang cân
d) Vì AH//CK nên AO//CK
⇒ $\frac{AD}{DK}$ =$\frac{AO}{CK}$ =$\frac{1}{2}$
⇒ $\frac{AD}{AK}$=$\frac{1}{3}$ hay AK=3AD (đpcm)