`a)` Xét $∆BHK$ và $∆BAD$ có:
`\qquad \hat{BHK}=\hat{BAD}=90°`
`\qquad \hat{HBK}=\hat{ABD}` (do $BD$ là phân giác `\hat{ABC}`)
`=>∆BHK∽∆BAD` (g-g)
$\\$
Xét $∆BAK$ và $∆BCD$ có:
`\qquad \hat{ABK}=\hat{CBD}` (do $BD$ là phân giác `\hat{ABC}`)
`\qquad \hat{BAK}=\hat{BCD}` (cùng phụ `\hat{ABH}`)
`=>∆BAK∽∆BCD` (g-g)
$\\$
`b)` $∆BAK∽∆BCD$ (câu a)
`=>{AB}/{CB}={AK}/{CD}` $(1)$
$\\$
$\quad BD$ là phân giác của `\hat{ABC}`
`=>`$BK$ là phân giác của `\hat{ABH}`
`=>{HK}/{AK}={HB}/{AB}` $(2)$
$\\$
Xét $∆ABH$ và $∆CBA$ có:
`\qquad \hat{B}` chung
`\qquad \hat{AHB}=\hat{CAB}=90°`
`=>∆ABH∽∆CBA` (g-g)
`=>{AB}/{CB}={HB}/{AB}` $(3)$
$\\$
Từ `(1);(2);(3)=>{AK}/{CD}={HK}/{AK}`
`=>HK.CD=AK^2`
Vậy `KH.DC=AK^2`
$\\$
`c)` Ta có: `∆BHK∽∆BAD` (câu a)
`=>{HK}/{AD}={HB}/{AB}`
Mà `{HK}/{AK}={HB}/{AB}` (từ $(2)$)
`=>AD=AK`
`=>∆ADK` cân tại $A$
Vì `M` là trung điểm $KD$ (gt)
`=>AM` vừa là trung tuyến và đường cao $∆ADK$
`=>AM`$\perp BD$
Mà `AM`//$Bx$ (gt) `=>AM`//$BN$
`=>BN`$\perp BD$
$\\$
Vì $BD$ là phân giác trong `\hat{ABC}`
`=>BN` là phân giác ngoài của `\hat{ABC}`
`=>{AK}/{HK}={AB}/{HB}={AN}/{HN}`
`=>HK.AN=AK.HN`
