Do tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC nên AM là trung tuyến của tam giác ABC.
Vậy AM = MB. Suy ra tam giác AMB cân tại M.
Vậy
$\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$ (1)
Gọi I là trung điểm DE, khi đó AI là đường trung tuyến của tam giác vuông EAD nên AI = IE.
Vậy
$\widehat{IEA} = \widehat{IAE}$ (2)
Xét tam giác vuông MEB có
$\widehat{MEB} + \widehat{MBE} = 90^{\circ}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra
$\widehat{IAE} + \widehat{MAB} = 90^{\circ}$
Lại có $\widehat{EAB} = 180^{\circ}$. Vậy
$\widehat{IAM} = \widehat{EAB} - (\widehat{IAE} + \widehat{MAB})$
$= 180^{\circ} - 90^{\circ}$
$<-> \widehat{IAM} = 90^{\circ}$
Vậy $IA \perp AM$.
Lại có I là trung điểm DE và IA = IE = ID nên I là tâm đường tròn đường kính DE và A nằm trên đường tròn.
Lại có $IA \perp AM$ nên AM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.
