Từ $C$ kẻ $CF//AE$ cắt $AB$ tại $F$
Xét tứ giác $AECF$ có:
$AF//CE\quad (AB//CE \,\,do\,\,\perp AC)$
$AE//CF\quad$ (cách dựng)
Do đó $AECF$ là hình bình hành
$\Rightarrow AC,EF$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà $I$ là trung điểm $AC\quad (gt)$
nên $I$ là trung điểm $EF$
$\Rightarrow E,I,F$ thẳng hàng
$\Rightarrow FI\perp BC$
Lại có: $CI\perp AB\quad (AC\perp AB)$
$\Rightarrow I$ là trực tâm $∆FBC$
$\Rightarrow BI\perp FC$
mà $FC//AE\quad (AECF$ là hình bình hành$)$
nên $BI\perp AE$