a/ Xét \(ΔAHE\) và \(ΔABH\):
\(\widehat{AEH}=\widehat{AHB}(=90^\circ)\)
\(\widehat A:chung\)
\(→ΔAHE\backsim ΔABH(g-g)\)
\(→\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AB}{AH}\)
\(↔AH^2=AE.AB\)
b/ Xét \(ΔAHF\) và \(ΔACH\):
\(\widehat{AFH}=\widehat{AHC}(=90^\circ)\)
\(\widehat{A}:chung\)
\(→ΔAHF\backsim ΔACH(g-g)\)
\(→\dfrac{AH}{AF}=\dfrac{AC}{AH}\)
\(↔AH^2=AF.AC\) mà \(AH^2=AE.AB\)
\(→AF.AC=AE.AB↔\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\)
Xét \(ΔAFE\) và \(ΔABC\):
\(\widehat A:chung\)
\(\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}(cmt)\)
\(→ΔAFE\backsim ΔABC(c-g-c)\)
c/ \(EH⊥AB\) mà \(AB⊥AC→EH//AC→ΔMEH\backsim ΔMAN\)
\(→\widehat{MHE}=\widehat{MNA}\)
Xét \(ΔMHA\): \(ME\) vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao
\(→ΔMHA\) cân tại \(H\)
\(→HE\) là đường phân giác \(\widehat{MHA}\)
\(→\widehat{MHE}=\widehat{EHA}\) mà \(\widehat{EHA}=\widehat{HBA}\) (\(ΔEHA\backsim ΔHBA\) )
\(→\widehat{MHE}=\widehat{HBA}\) mà \(\widehat{MHE}=\widehat{MNA}\)
\(→\widehat{HBA}=\widehat{MNA}\) hay \(\widehat{ABH}=\widehat{ANH}\)
\(ΔAEF\backsim ΔACB→\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\) hay \(\widehat{AFE}=\widehat{ABH}\)
mà \(\widehat{ABH}=\widehat{ANH}\)
\(→\widehat{AFE}=\widehat{ANH}\) mà 2 góc ở vị trí so le trong
\(→EF//HN\)
d/ \(EF//HN\) mà \(EH//FN\)
\(→EHFN\) là hình bình hành
\(→EF=HN\)
Xét tứ giác \(AEHF\):
\(\widehat A=\widehat E=\widehat F=90^\circ\)
\(→AEHF\) là hình chữ nhật
\(→EF=HA\) mà \(EF=HN→HA=HN\)
\(→ΔHAN\) cân tại \(H\) mà \(\widehat{HAN}=60^\circ\) (vì \(\widehat{HAN}=90^\circ-\widehat C\) )
\(→ΔHAN\) là tam giác đều
Xét \(ΔABC\) vuông tại \(A\): \(AO\) là đường trung tuyến \(BC\)
\(→OA=OC\)
\(→ΔOAC\) cân tại \(O→\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\) hay \(\widehat{KAN}=\widehat{OCA}=30^\circ\)
Xét \(ΔKAN\):
\(\widehat{KAN}=30^\circ\)
\(\widehat{KNA}=60^\circ\) (\(ΔHAN\) đều)
\(→\widehat{KAN}+\widehat{KNA}=90^\circ\)
\(→\widehat{AKN}=90^\circ\)
\(→AK⊥AN\)
Dễ dàng nhận thấy \(ΔKAN=ΔFHA(CH-GN)\)
\(→\widehat{AHF}=\widehat{NAK}=30^\circ\) (2 góc tương ứng)
Xét \(ΔAHF\): \(\widehat{AHF}=30^\circ\)
\(→AF=\dfrac{1}{2}AH\)
Xét \(ΔAHC\): \(\widehat{HCA}=30^\circ\)
\(→AH=\dfrac{1}{2}AC\)
Ta có:
\(S_{ΔAHF}=\dfrac{1}{2}.AF.AH\\=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AH.\dfrac{1}{2}AC\\=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.AH.AC\\=\dfrac{1}{4}S_{ΔAHC}\\→S_{ΔKAN}=\dfrac{1}{4}S_{ΔAHC}\)
