1) Xét tứ giác $ANMP$ có:
$\widehat{A} = 90^o \quad (gt)$
$\widehat{N} = 90^o \quad (MN\perp AB)$
$\widehat{P} = 90^o \quad (MP\perp AC)$
$\Rightarrow ANMP$ là hình chữ nhật
2) Xét $ΔABC$ có:
$MN//AC \quad (\perp AB)$
$BM = MC \quad (gt)$
$\Rightarrow AN = NB = \dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình
$\Rightarrow MN //AC; \, MN = \dfrac{1}{2}AC$ $(1)$
Ta lại có:
$MP//AB \quad (\perp AC)$
$BM = MC \quad (gt)$
$\Rightarrow AP = PC = \dfrac{1}{2}AC$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow MN//PC; \, MN= PC$
$\Rightarrow MNPC$ là hình bình hành
Mặt khác:
$E$ là trung điểm đường chéo $MP \quad (gt)$
$\Rightarrow E$ là trung điểm đường chéo $NC$
3) Ta có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC\quad (gt)$
$\Rightarrow MA = MB = MC$
$\Rightarrow ΔMAC$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$
mà $\widehat{MAC} = \widehat{GCA}$ (so le trong)
nên $\widehat{MCA} = \widehat{GCA}$
$\Rightarrow CA$ là phân giác của $\widehat{MCG}$
Ta lại có:
$CA\perp MG$
$\Rightarrow ΔMCG$ cân tại $C$
$\Rightarrow MP = PG$
Xét $ΔMAG$ có:
$AP\perp MG \quad (MP\perp AC)$
$MP = PG \quad (cmt)$
Do đó $ΔMAG$ cân tại $A$
$\Rightarrow MA = GA$ $(3)$
$\Rightarrow MA = MC = CG = GA$
$\Rightarrow AMCG$ là hình thoi
$\Rightarrow GA//MC$
hay $GK//BC$
Mặt khác:
$ΔMAB$ cân tại $M \quad (MA = MB)$ có:
$MN\perp AB\quad (gt)$
$\Rightarrow MN$ là phân giác $\widehat{AMB}$
$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{BMN} = \dfrac{1}{2}\widehat{AMB}$
hay $\widehat{AMK} = \widehat{BMK}$
Ta lại có:
$GK//BC \quad (cmt)$
$\Rightarrow \widehat{BMK} = \widehat{AKM}$ (so le trong)
Do đó:
$\widehat{AMK} = \widehat{AKM}$
$\Rightarrow ΔAMK$ cân tại $A$
$\Rightarrow AK = AM$ $(4)$
$(3)(4)\Rightarrow AK = AG$
hay $A$ là trung điểm $GK$
4) Ta có:
$ANMP$ là hình chữ nhật (câu a)
$\Rightarrow AO = OM$
Xét $ΔABM$ có:
$OH//AB$
$AO = OM$
$\Rightarrow BH = HM$
mà $AH\perp BM$
$\Rightarrow ΔABM$ cân tại $A$
$\Rightarrow AB = AM$
$\Rightarrow AB = AM = MB$
$\Rightarrow ΔABM$ đều
$\Rightarrow \widehat{ABM} = 60^o$
hay $\widehat{ABC}= 60^o$
$\Rightarrow ABC$ là nửa tam giác đều $\widehat{B} = 60^o$
