Giải thích các bước giải:
a.Gọi $E$ là trung điểm $AH\to ME$ là đường trung bình $\Delta AHC$
$\to ME//AC$
$\to ME\perp AB(AC\perp AB)$
Mà $AH\perp BC\to E$ là trực tâm $\Delta ABM\to BE\perp AM$
$\to BE//HN$
Mà $E$ là trung điểm $AH\to BE$ là đường trung bình $\Delta ANH$
$\to B$ là trung điểm $AN$
$\to BA=BN$
b.Ta có:
$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o,\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}$
$\to\Delta AHB\sim\Delta CHA(g.g)$
$\to\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{AB}{AC}$
$\to AH^2=HB\cdot HC$
$\to AH^2=HB\cdot (BC-HB)$
$\to AH^2=HB\cdot BC-HB^2$
$\to AH^2=HB\cdot a-HB^2$
$\to AH^2\cdot BH^2=HB^2(HB\cdot a-HB^2)$
$\to AH^2\cdot BH^2=HB^3( a-HB)$
$\to AH^2\cdot BH^2=27\cdot \dfrac{HB}{3}\cdot \dfrac{HB}{3}\cdot \dfrac{HB}{3}\cdot ( a-HB)$
$\to AH^2\cdot BH^2\le 27\cdot \dfrac1{4^4}\cdot(\dfrac{HB}{3}+ \dfrac{HB}{3}+\dfrac{HB}{3}+ a-HB)^4$
$\to AH^2\cdot BH^2\le \dfrac{27a^4}{256}$
$\to AH\cdot BH\le \dfrac{a^2\cdot 3\sqrt{3}}{16}$
$\to \dfrac12\cdot AH\cdot BH\le \dfrac{a^2\cdot 3\sqrt{3}}{32}$
$\to S_{ABH}\le \dfrac{a^2\cdot 3\sqrt{3}}{32}$
Dấu = xảy ra khi $\dfrac{HB}{3}=a-HB\to HB=\dfrac34a$
