1) Xét $ΔABD$ và $ΔEBD$ có:
$\widehat{ABD} = \widehat{EBD} \, (gt)$
$AB = BE \, (gt)$
$BD:$ cạnh chung
Do đó $ΔABD = ΔEBD \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{BAD} =\widehat{BED}$ (hai góc tương ứng)
mà $\widehat{BAD} = 90^o \, (gt)$
nên $\widehat{BED} = 90^o$
$\Rightarrow DE\perp BE$
hay $DE\perp BC$
2) Ta có: $ΔABD = ΔEBD$
$\Rightarrow AD = DE$
mà $AB = BE \, (gt)$
$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AE$ (định lý 2)
3) Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABD$ vuông tại $A$, ta được:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
$\Rightarrow AD^2 = BD^2 - AB^2 = 5^2 - 3^2 = 16$
$\Rightarrow AD = 4 \, cm$
Ta có: $ΔABD = ΔEBD$
$\Rightarrow AD = DE$
$\Rightarrow DE = 4 \,cm$
4) Sửa đề: $K \in$ tia đối của tia $AB$
Xét $ΔAKD$ và $ΔECD$ có:
$\widehat{DAK} = \widehat{DEC} = 90^o$
$AK = CE \, (gt)$
$AD = DE \, (ΔABD = ΔEBD)$
Do đó $ΔAKD=ΔECD \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{ADK} = \widehat{EDC}$ (hai góc tương ứng)
mà $A, D, C$ thẳng hàng
nên $K, D, E$ thẳng hàng
5) Ta có: $AK = EC \, (gt)$
$AB = EB \, (gt)$
$\Rightarrow AB + AK = EB + EC$
$\Leftrightarrow BK = BC$
Xét $ΔBKC$ có:
$BK = KC \, (cmt)$
Do đó $ΔBKC$ cân tại $B$
6) Xét $ΔBKC$ cân tại $B$ có:
$KE\perp BC$
$CA\perp BK$
$D = KE\cap CA$
$\Rightarrow D$ là trực tâm của $ΔBKC$
$\Rightarrow BD$ là đường cao ứng với cạnh $KC$
$\Rightarrow BD$ là trung tuyến ứng với cạnh $KC$
mà $HK = HC$
$\Rightarrow BH$ là trung tuyến ứng với cạnh $KC$
Do đó $B,D,H$ thẳng hàng
7) Ta có: $ΔBKC$ cân tại $B$
$\Rightarrow \widehat{KCB} = \dfrac{180^o - \widehat{ABC}}{2}$
Ta lại có: $AB = BE \, (gt)$
$\Rightarrow ΔBAE$ cân tại $B$
$\Rightarrow \widehat{AEB} = \dfrac{180^o - \widehat{ABC}}{2}$
Do đó $\widehat{KCB} = \widehat{AEB}$
$\Rightarrow AE//KC$
8) Ta có: $AI\perp BC \, (gt)$
$DE\perp BC$ (câu 1)
$\Rightarrow AI//DE \, (\perp BC)$
$\Rightarrow \widehat{IAE} = \widehat{DEA}$ (so le trong)
Ta lại có:
$AD = DE \, (ΔABD = ΔEBD)$
$\Rightarrow ΔDEA$ cân tại $D$
$\Rightarrow \widehat{DAE} = \widehat{DEA}$
Do đó $\widehat{DAE} = \widehat{IAE} \, (=\widehat{DEA})$
$\Rightarrow AE$ là phân giác của $\widehat{CAI}$
9) $I$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow AI$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$
mà $AI$ là đường cao ứng với cạnh $BC \, (gt)$
nên $ΔABC$ cân tại $A$
Ta lại có: $ΔABC$ vuông tại $A \, (gt)$
Vậy $ΔABC$ vuông cân tại $A$
