Đáp án:
$AD = \dfrac{{48\sqrt 2 }}{7}$
Giải thích các bước giải:
Kẻ $DE\bot AB=E$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AB = 12;BC = 20\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 16\\
\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}
\end{array} \right.
\end{array}$
Áp đụng định lý về đường phân giác trong tam giác ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4};DB + DC = BC = 20\\
\Rightarrow DB = \dfrac{{60}}{7};DC = \dfrac{{80}}{7}
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\Delta BDE;\widehat {BED} = {90^0};BD = \dfrac{{60}}{7};\sin \widehat {DBE} = \dfrac{4}{5}\\
\Rightarrow DE = DB.\sin \widehat {DBE} = \dfrac{{60}}{7}.\dfrac{4}{5} = \dfrac{{48}}{7}
\end{array}$
Xét $\Delta ADE;\widehat {AED} = {90^0};\widehat {DAE} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = {45^0}$
$ \Rightarrow AD = \dfrac{{DE}}{{\sin \widehat {DAE}}} = \dfrac{{\dfrac{{48}}{7}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \dfrac{{48\sqrt 2 }}{7}$
Vậy $AD = \dfrac{{48\sqrt 2 }}{7}$
