Đáp án:
a) Xét ΔHBA và ΔABC có
+ góc BHA = góc BAC = 90 độ
+ góc HBA chung
=> ΔHBA ~ ΔABC (g-g)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\\
\Leftrightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{15.20}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} }} = 12\left( {cm} \right)\\
Vay\,AH = 12cm\\
b)\\
\widehat {HAD} = \widehat {CAD} = \frac{1}{2}\widehat {HAC}\\
Trong:\Delta ADH:\\
\widehat {HAD} + \widehat {HDA} = {90^0}\\
hay\,\widehat {HAD} + \widehat {BDA} = {90^0}\\
Do:\widehat {BAD} + \widehat {CAD} = \widehat {BAC} = {90^0}\\
\Leftrightarrow \widehat {BDA} = \widehat {BAD}
\end{array}$
=> tam giác ABD cân tại B
c)
Ta cm được: ΔHAD = ΔEAD (c-g-c)
=> góc AHD = góc AED = 90 độ và DH = DE
=> ΔDEC vuông tại E
Xét ΔDEC và ΔAHC có:
+ góc DEC = góc AHC = 90 độ
+ góc C chung
=> ΔDEC ~ ΔAHC (g-g)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{CE}}{{CH}} = \frac{{CD}}{{CA}}\\
\Leftrightarrow CE.CA = CD.CH
\end{array}$
d) Ta có: ΔDEC ~ ΔAHC (g-g)
=> $\begin{array}{l}
\frac{{DC}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{AH}}\\
hay:\frac{{DC}}{{DH}} = \frac{{AC}}{{AE}}
\end{array}$
