Giải thích các bước giải:
a)
Áp dụng định lí Pi - ta - go vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
\(\begin{array}{l}
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\
\Leftrightarrow B{C^2} = {3^2} + {4^2}\\
\Leftrightarrow B{C^2} = 9 + 16\\
\Leftrightarrow B{C^2} = 25\\
\Leftrightarrow BC = 5\,\,\,\left( {cm} \right)
\end{array}\)
b)
Do BE là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABE} = \widehat {EBH}\)
Xét hai tam giác vuông ABE và HBE có:
\(\begin{array}{l}
BE:\,\,\,cạnh\,\,chung\\
\widehat {ABE} = \widehat {EBH}
\end{array}\)
Suy ra \(\Delta ABE = \Delta HBE\,\,\,\left( {cạnh\,\,huyền\, - \,góc\,\,nhọn} \right)\)
Do đó, \(AB = HB\) (hai cạnh tương ứng)
c)
Theo đề bài ta có: \(DH \bot BC;\,\,CA \bot BD\)
Tam giác BDC có hai đường cao là DH và CA cắt nhau tại E, do đó, E là trực tâm của tam giác BDC.
E là trực tâm của tam giác BDC nên \(BE \bot DC\)
d)
Tam giác MBC vuông tại B nên \(\widehat {MBC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BMC} + \widehat {BCM} = 90^\circ \)
Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {BMC} + \widehat {BCM} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {ABC}\)
Do MK là phân giác góc BMC, BE là phân giác góc DBC nên:
\(\widehat {BMC} = \widehat {ABC} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\widehat {BMC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \Leftrightarrow \widehat {KMC} = \widehat {DBN}\) (1)
Gọi N là giao điểm của BE và DC
Theo chứng minh phần c, BE vuông góc với CD nên BN cũng vuông góc với CD.
Do đó, \(\widehat {BND} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DBN} + \widehat {BDN} = 90^\circ \,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Tam giác ADC vuông tại A nên:
\(\widehat {DAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ADC} + \widehat {ACD} = 90^\circ \,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (2) và (3) suy ra : \(\widehat {ADC} + \widehat {ACD} = \widehat {DBN} + \widehat {BDN} \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {DBN}\) (4)
Từ (1) và (4) suy ra \(\widehat {KMC} = \widehat {DBN} = \widehat {ACD}\)
Hai góc KMC và ACD bằng nhau và nằm ở vị trí so le trong giữa 2 đường thẳng MK và DC nên \(MK//DC\)
Vậy \(MK//DC\)
