Hình vẽ (Hình dưới)
a, ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ $\widehat{BAC}=90°$
Xét Δ BKC có: CK=BC (gt)
⇒ ΔBKC cân tại C
⇒ $\widehat{CBK}=\widehat{CKB}=\frac{180°-\widehat{C_{1}}{2}}(1)$
Có $\widehat{A_{1}}+\widehat{DAC}=90°$ ($\widehat{BAC}=90°$)
Xét ΔADH vuông tại H (AH⊥BC) có:
$\widehat{A_{2}}+\widehat{D_{1}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
mà $\widehat{A_{1}}+\widehat{DAC}=90°$ (cmt)
$\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$ (AD là phân giác $\widehat{BAH}$)
⇒ $\widehat{D_{1}}=\widehat{DAC}$
Xét ΔCAD có: $\widehat{D_{1}}=\widehat{DAC}$ (cmt)
⇒ ΔCAD cân tại C
⇒ $\widehat{D_{1}}=\widehat{DAC}=\frac{180°-\widehat{C_{1}}{2}}(2)$
Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{D_{1}}=\widehat{DAC}=\widehat{CBK}=\widehat{CKB}$
⇒ $\widehat{D_{1}}=\widehat{CBK}$
mà hai góc này ở vị trí đồng vị do BC cắt BK và AD ⇒ BK // AD
b, ΔCAD cân tại C (cmt) ⇒ CA=CD
Xét ΔCAB và ΔCDK có:
CA=CD (cmt)
$\widehat{C_{1}}$: góc chung
CB=CK (gt)
⇒ ΔCAB=ΔCDK (c.g.c)
⇒ $\widehat{CAB}=\widehat{CDK}$ (hai góc tương ứng)
mà $\widehat{BAC}=90°$ (cmt)
⇒ $\widehat{CDK}=90°$ ⇒ KD⊥BC
c, $\widehat{CAB}+\widehat{BAK}=180°$ (hai góc kề bù)
mà $\widehat{BAC}=90°$ ⇒ $\widehat{BAK}=180°-90°=90°$
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A (gt) có:
BC²=AB²+AC²
Hay BC²=6²+8²=36+64=100
⇒ BC=10 cm (BC>0)
mà CK=BC (gt)
⇒ CK=10 cm
CK=CA+AK ⇒ AK=CK-CA=10-8=2 cm
Áp dụng định lí Pytago vào ΔBAK vuông tại A ($\widehat{BAK}=90°$) có:
BK²=AK²+AB²
Hay BK²=2²+6²=4+36=40
⇒ $BK=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ (cm) (BK>0)
