`a.`
Xét `ΔAHD` và `ΔAED` có:
`hat{AHD}` `=` `hat{AED}` `= 90^0`
`AD` là cạnh huyền chung
`hat{HAD}` `=` `hat{EAD}` ( `AD` là phân gác HAC )
Do đó `ΔAHD = ΔAED` ( cạnh huyền - góc nhọn )
`=> DH = ED` ( `2` cạnh tương ứng )
`b.`
Do `D` là giao điểm của hai đường cao `KE` và `CH` nên `D` là trực tâm của `ΔAKC`
`=> AD ⊥ CK`
Xét `ΔAKC` có `AD` là đường cao đồng thời là đường phân giác
Do đó `ΔAKC` cân tại `A`
`c.`
Xét `ΔAEK` và `ΔAHC` có:
`AK = AC` ( Do `ΔAKC` cân )
`A` chung
Do đó `ΔAEK = ΔAHC` ( cạnh huyền - góc nhọn )
`=>` `hat{HKE}` `=` `hat{ECH}` ( `2` góc tương ứng )
và `KE = HC` ( `2` cạnh tương ứng )
Ta có:
`+) AH = AE` ( Do `ΔAHD = ΔAED` )
`+) AK = AC` ( Do `ΔAKC` cân )
`+) AC = AE + EC`
`+) K = AH + HK`
`=> HK = EC`
Xét `ΔKHE` và `ΔCEH` có:
`HK = EC (cmt)`
`HKE = ECH (cmt)`
`KE = HC (cmt)`
`=> ΔKHE = ΔCEH ( c - g - c )`
`d.`
Áp dụng định lí `Py - ta - go` cho `ΔABC` vuộng tại `A` có: `AB^2 + AC^2 = BC^2 (1)`
Áp dụng định lí `Py - ta - go` cho `ΔAHB` vuộng tại `H` có: `AB^2 = AH^2 + BH^2 (2)`
Áp dụng định lí `Py - ta - go` cho `ΔAHC` vuộng tại `H` có: `AC^2 = AH^2 + CH^2 (3)`
Từ `(1) , (2) , (3) => BC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2`
`=> AH^2 =` $\frac{BC^2 - BH^2 - CH^2}{2}$ `=` $\frac{50^2 - 18^2 - 32^2}{2}$ `= 576 => AH = 24`
Thay vào `(3)` ta tính dược `AC = 30 cm`
`e.`
Khi `hat{BCA}` `= 30^0 =>` `hat{KAC}` `= 60^0`
Xét `ΔAKC` cân tại `A` có `hat(KAC}` `= 60^0`
`=> ΔAKC` đều
Do đó `AK = AC = KC (4)`
Lại có `AD , KE , AP` là các đường cao đồng thời là trung tuyến
`=> E, H , P` lần lượt là trung điểm của `AC , AK , CK`
Xét `ΔAHC` vuông tại `H,` trung tuyến `HE` ứng với cạnh huyền `AC`
`=> HE = 1/2 AC (5)` ( T/c trung tuyến trong tam giác vuông )
Tương tự ta có: `HP = 1/2 AK (6)` và `EP = 1/2 CK (7)`
Từ `(4) , (5) , (6) , (7) => HE = HP = EP`
Vậy `ΔHEP` đều
