a)

$\dfrac{CA}{CH}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{CB}{CA}=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}$

Xét $\Delta CAB$ và $\Delta CHA$, ta có:

$\widehat{ACB}$ là góc chung

$\dfrac{CA}{CH}=\dfrac{CB}{CA}=\dfrac{4}{3}$

$\to \Delta CAB\sim\Delta CHA\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$

$\to \widehat{CAB}=\widehat{CHA}=90{}^\circ $

$\to AH\bot BC$

b)

$BH=CB-CH=16-9=7\,\,\left( cm \right)$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to AB=\sqrt{{{16}^{2}}-{{12}^{2}}}=4\sqrt{7}$

$\Delta AHC$ vuông tại $H$

$\to AH=\sqrt{{{12}^{2}}-{{9}^{2}}}=3\sqrt{7}$

$\Delta ABH$ có $AN$ là tia phân giác:

$\to\dfrac{NB}{AB}=\dfrac{NH}{AH}=\dfrac{NB+NH}{AB+AH}=\dfrac{BH}{AB+AH}=\dfrac{7}{4\sqrt{7}+3\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

$\bullet \,\,\,\,\,\dfrac{NB}{AB}=\dfrac{\sqrt{7}}{7}\to NB=\dfrac{\sqrt{7}}{7}.4\sqrt{7}=4\,\,\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,\dfrac{NH}{AH}=\dfrac{\sqrt{7}}{7}\to NH=\dfrac{\sqrt{7}}{7}.3\sqrt{7}=3\,\,\left( cm \right)$

c)

$\Delta AHC$ có $CM$ là tia phân giác

$\to \dfrac{MA}{MH}=\dfrac{CA}{CH}\,\,\,\left( 1 \right)$

$\Delta ABH$ có $AN$ là tia phân giác

$\to \dfrac{NB}{NH}=\dfrac{AB}{AH}\,\,\,\left( 2 \right)$

$\Delta CAB\sim\Delta CHA\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \dfrac{CA}{CH}=\dfrac{AB}{AH}\,\,\,\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)\,;\,\left( 2 \right)\,;\,\left( 3 \right)$, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{MA}{MH}=\dfrac{NB}{NH}$

$\to MN\,\,||\,\,AB$

d)

Đã vẽ hình và đề bài yêu cầu chứng minh gì ?

$\Delta OAM$ có $IN\,\,||\,\,AM$

$\to \dfrac{MO}{IO}=\dfrac{OA}{ON}$ ( định lý Ta – let )

$\Delta ONM$ có $MN\,\,||\,\,AB$

$\to \dfrac{OA}{ON}=\dfrac{AB}{MN}$ ( hệ quả định lý Ta – let )

$\to \dfrac{MO}{IO}=\dfrac{AB}{MN}\,\,\,\left( 4 \right)$

$\Delta HBM$ có $IN\,\,||\,\,MH$

$\to \dfrac{MB}{MI}=\dfrac{HB}{HN}$ ( định lý Ta – let )

$\Delta HNM$ có $AB\,\,||\,\,MN$

$\to \dfrac{HB}{HN}=\dfrac{AB}{MN}$ ( hệ quả định lý Ta – let )

$\to \dfrac{MB}{MI}=\dfrac{AB}{MN}\,\,\,\left( 5 \right)$

Từ $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{MO}{IO}=\dfrac{MB}{MI}$

$\to MO.MI=MB.IO$

$\to MO.MI=MB\left( MI-MO \right)$

$\to MO.MI=MB.MI-MB.MO$

$\to MO.MI+MB.MO=MB.MI$

$\to MO\left( MI+MB \right)=MB.MI$

$\to \dfrac{1}{MO}=\dfrac{MI+MB}{MB.MI}$

$\to \dfrac{1}{MO}=\dfrac{1}{MI}+\dfrac{1}{MB}$