d, Ta có: AC = 2AB; AC = 2AD (do D là trung điểm của AC)
⇒ AB = AD ⇒ AB = HE
mà `\hat{BAD}=90^{o}`
⇒ ΔABD vuông cân tại A
`⇒\hat{ABD}=\hat{ADB}=45^{o}(1)`
`BD²=AB²+AD²=2AB²(3)`
Ta có: AH = AD (gt); AD = HE (theo c)
⇒ AH = HE mà `\hat{AHE}=90^{o}`
⇒ ΔAHE vuông cân tại H
`⇒\hat{HAE}=\hat{HEA}=45^{o}(2)`
`AE²=AH²+HE²=2.HE²(4)
Từ (1) và (2) `⇒\hat{ADB}=\hat{HAE}`
`⇒\hat{BDC}=\hat{EAD}` (lần lượt kề bù với `\hat{ADB}` và `\hat{HAE}`)
Từ (3) và (4) ⇒ BD = AE
Ta có: `\hat{EAD}+\hat{HAE}=180^{o}` (kề bù)
`⇒\hat{EAD}+45^{o}=180^{o}`
`⇒\hat{EAD}=180^{o}-45^{o}=135^{o}`
`\hat{BAH}=180^{o}-\hat{BAC}=180^{o}-90^{o}=90^{o}`
`\hat{EAB}=\hat{HAE}+\hat{BAH}=45^{o}+90^{o}=135^{o}`
`⇒\hat{EAD}=\hat{EAB}`
Xét ΔEAB và ΔEAD có:
`AB=AD(cmt)`
`\hat{EAB}=\hat{EAD}(cmt)`
`AE: chung(cmt)`
⇒ ΔEAB = ΔEAD (c.g.c)
⇒ BE = DE (2 cạnh tương ứng)
mà BC = DE (do cung tròn tâm D bán kính bằng BC cắt tia Hx tại E)
⇒ BC = BE (5)
Xét ΔEAB và ΔBDC có:
`AB=DC(cmt)`
`AE=BD(cmt)`
`BE = BC (cmt)`
⇒ ΔEAB = ΔBDC (c.c.c)
`⇒\hat{ABE}=\hat{DCB}` (2 góc tương ứng)
mà `\hat{DCB}+\hat{ABC}=90^{o}` (do ΔABC vuông tại A)
`⇒\hat{ABE}+\hat{ABC}=90^{o}`
`⇒\hat{EBC}=90^{o}(6)`
Từ (5) và (6) ⇒ ΔBEC vuông cân
