a) Tứ giác $AEHF$ có $\widehat{A}=\widehat E=\widehat F=90^o$
$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AH=EF$ (đpcm)
Xét $\Delta$ vuông $ AEP$ và $\Delta $ vuông $AEH$ có:
$AE$ chung
$PE=HE$
$\Rightarrow $ $\Delta$ vuông $ AEP=\Delta $ vuông $AEH$ (2 cạnh góc vuông)
$\Rightarrow AP=AH$ (1)
Xét $\Delta$ vuông $ AFH$ và $\Delta $ vuông $AFQ$ có:
$AF$ chung
$HF=QF$
$\Rightarrow \Delta AFH=\Delta AFQ$ (2 cạnh góc vuông)
$\Rightarrow AH=AQ$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AP=AQ$ (*)
Ta có: $\widehat{PAQ}=\widehat{PAE}+\widehat{EAH}+\widehat{HAF}+\widehat{FAQ}$
$=2\widehat{EAH}+2\widehat{HAF}$
$=2(\widehat{EAH}+\widehat{HAF})=2\widehat A=2.90^o=180^o$
$\Rightarrow \widehat{PAQ}$ là góc bẹt suy ra $P,A,Q$ thẳng hàng (**)
Từ (*) và (**) suy ra $A$ là trung điểm cạnh $PQ$
3) $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến
$\Rightarrow AM=MB\Rightarrow \Delta ABM$ cân đỉnh $M$
$\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{MAB}$
mà $\widehat{PAE}=\widehat{HAE}$ (do $\Delta AEP=\Delta AEH$ cmt)
$\Rightarrow \widehat{PAM}=\widehat{PAE}+\widehat{EAM}$
$=\widehat{EAH}+\widehat{ABM}=90^o$
$\Rightarrow \widehat{PAM}=90^o$
$\Rightarrow PQ\bot AM$
Mà $E$ là trung điểm của $PH$, $F$ là trung điểm của $HQ$
$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta HPQ$
$\Rightarrow EF\parallel PQ$ có $PQ\bot AM$ (cmt)
$\Rightarrow EF\bot AM$ (đpcm)
