Sửa đề:
$F$ là giao điểm của $AB$ và $DE$
Chứng minh $DF = DC$
Lời giải:
a) Xét $\triangle ABD$ và $\triangle EBD$ có:
$\begin{cases}\widehat{A} = \widehat{E} = 90^\circ\\\widehat{ABD} = \widehat{EBD}\quad (gt)\\BD:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle ABD = \triangle EBD$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow \begin{cases}AB = EB\\AD = ED\end{cases}$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\triangle ADF$ và $\triangle EDC$ có:
$\begin{cases}\widehat{A} = \widehat{E} = 90^\circ\\\widehat{ADF} = \widehat{EDC}\quad \text{(đối đỉnh)}\\AD = ED\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle ADF = \triangle EDC$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
$\Rightarrow DF = DC$ (hai cạnh tương ứng)
b) Xét $\triangle ADF$ vuông tại $A$ luôn có:
$AD < DF$ (cạnh góc vuông < cạnh huyền)
mà $DF = DC$ (câu a)
nên $AD < DC$
c) Ta có:
$\begin{cases}AB = EB\\AD = ED\end{cases}$ (câu a)
$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AE$
$\Rightarrow BD\perp AE\qquad (1)$
Xét $\triangle BCF$ có:
$FE$ là đường cao $(DE\perp BC)$
$CA$ là đường cao $(AC\perp AB)$
$FE$ cắt $CA$ tại $D$
$\Rightarrow D$ là trực tâm của $\triangle BCF$
$\Rightarrow BD$ là đường cao
$\Rightarrow BD\perp FC\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow AE//FC\quad (\perp BD)$
