Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/ Xét $ΔACD$ và $ΔICD$

Có: $\widehat{CAD}=\widehat{CID}$ $(=90^0)$

$CD$ chung

$\widehat{ACD}=\widehat{ICD}$ (do $CD$ là tia phân giác $\widehat{ACB}$)

$⇒ ΔACD=ΔICD$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$⇒ AC=CI$

và $AD=DI$

$⇒ CD$ là đường trung trực đoạn $AI$

$⇒ CD ⊥ AI$

b/ Có: $\widehat{BCD}=\widehat{ACD}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=30^0$

và $\widehat{CBD}=90^0-\widehat{ACB}=90^0-60^0=30^0$

$⇒ \widehat{BCD}=\widehat{CBD}$

$⇒ ΔBCD$ cân tại $D$

Có $DI$ là đường cao $ΔBCD$

$⇒ DI$ cũng là đường trung tuyến $ΔBCD$

Hay $IC=IB$

Từ câu $a$: $IC=AC$

$⇒ IB=AC$

$ΔDIB$ vuông tại $I$ $⇒ IB < BD$

$⇒ AC < BD$

c/ $ΔABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ACB}=60^0$

$⇒ BC=2.AC=2.4=8$ $(cm)$

Áp dụng định lý $Pytago$ vào $ΔABC$ vuông tại A:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$⇔ AB^2=BC^2-AC^2=8^2-4^2=48$

$⇒ AB=4\sqrt{3}$ $(cm)$

a) Xét `ΔACD` và `ΔCDI` có:

`hat{CAD} = hat{CID} = 90^o`

CD cạnh chung

`hat{ACD} = hat{DCI}` (vì CD là tia phân giác của `hat{ACB}`)

`=> ΔACD = ΔICD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AC = AI` (2 góc tương ứng)  (1)

`=> ΔACI` cân tại C

Ta có: CD là đường phân giác của `ΔACI` cân tại C

`=> CD` cũng là đường cao

`=> AI ⊥ CD`  (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm

b) Xét `ΔABC` vuông tại A có: `hat{ACB} + hat{B} = 90^o` (định lí)

`=> hat{B} = 90^o - hat{ACB} = 90^o - 60^o = 30^o`  (1)

Ta có: `hat{BCD} = hat{ACB}/2 = 60^o/2 = 30^o`  (2)

Từ (1), (2)

`=> hat{B} = hat{BCD}`

`=> ΔBCD` cân tại D

Lại có: DI là đường cao của `ΔBCD` cân tại D

`=> DI` cũng là đường trung tuyến

`=> CI = BI`

Vì `AC = CI` (cmt) nên `AC = BI`

Xét `ΔBDI` vuông tại I có:  BD là cạnh huyền

`=> BD > BI`

Mà AC = BI (cmt)

`=> BD > AC`   (đpcm)

c) Xét `ΔABC` vuông tại A có: `hat{B} = 30^o`

`=> AC = BC/2` (định lí)

`=> 2AC = BC`

hay `2 . 4 = BC`

`=> BC = 8 (cm)`

Ta có: `BC^2 = AB^2 + AC^2` (định lí Pytago)

`=> AB^2 = BC^2 - AC^2 = 8^2 - 4^2 = 48`

`=> AB = \sqrt{48} (cm)`

Vậy `BC = 8cm` và `AB = \sqrt{48}cm`.