$\text{a) Áp dụng định lý Py -ta - go cho ΔABD, ta có:}$

$AD^{2}$ `+` $AB^{2}$ `=` $BD^{2}$

$\text{Hay:}$ $3^{2}$ `+` $4^{2}$ `=` $BD^{2}$

`->` `9` `+``16` `=` $BD^{2}$

`->` $BD^{2}$  $\text{= 25}$

`->` `BD` `=` $\sqrt{25}$ `=` `5`

$\text{b) Xét ΔABD và ΔEBD, ta có:}$

`hat{A}` `=` `hat{BED}`

$\text{Chung BD}$

`hat{B_{1}}` `=` `hat{B_{2}}` $\text{(Vì BD là tia phân giác của}$ `hat{B}`$\text{)}$

`->` $\text{ΔABD = ΔEBD (cạnh huyền - góc nhọn)}$

$\text{c) Vì ΔABD = ΔEBD (đcmt)}$

`->` $\text{AB = BE (2 cạnh tương ứng)}$

$\text{Có:}$ `hat{A}` + `hat{B}` + `hat{C}` `=` $180^{o}$ $\text{Tổng 3 góc trong một tam giác)}$

$\text{Hay:}$ $90^{o}$  + `hat{B}` + $30^{o}$ `=` $180^{o}$ 

`->` `hat{B}` `=` $180^{o}$ - $90^{o}$ `-` $30^{o}$= $60^{o}$   `(1)`

$\text{Vì AB = BE}$ `->` $\text{ΔABE cân tại B}$   `(2)`

$\text{Từ (1) và (2)}$ `->` $\text{ΔABE là tam giác đều}$

$\text{d) Có:}$ `hat{D_{1}}` `+` `hat{D_{2}}` `+` `hat{D_{3}}` `=` $180^{o}$ $\text{(Tổng 3 góc trong một tam giác)}$ `(3)`

$\text{Vì ΔABD = ΔEBD (đcmt)}$

`->` `hat{D_{1}}` `=` `hat{D_{2}}` $\text{(2 góc tương ứng)}$

$\text{Có}$ `hat{D_{1}}``=` $180^{o}$ `-` `hat{A}` `-` `hat{B_{1}}`

                    `hat{D_{2}}``=` $180^{o}$ `-` `hat{BED}` `-` `hat{B_{2}}`

$\text{Mà}$ `hat{A}` `=` `hat{BED}`, `hat{B_{1}}` `=` `hat{B_{2}}`

 `->` `hat{D_{1}}` `=` `hat{D_{2}}` `=` $180^{o}$`-`$90^{o}$ `-` $\frac{60^{o}}{2}$ `=` $60^{o}$  `(4)`

$\text{Từ (3) và (4)}$ `->` `hat{D_{1}}` `=` `hat{D_{2}}` `=` `hat{D_{3}}` `=` $60^{o}$

$\text{Xét ΔBED và ΔCED, ta có:}$

`hat{D_{2}}` `=` `hat{D_{3}}`

$\text{Chung ED}$

`hat{BED}` `=` `hat{CED}` 

`->` $\text{ΔBED = ΔCED (cạnh huyền - góc nhọn)}$

`->` $\text{BE = EC (2 cạnh tương ứng)}$

$\text{Mà AB = BE (đcmt)}$

$\text{→ AB = BE = EC= 4cm}$

$\text{Có BC = BE + EC = 4 + 4 = 8 (cm)}$

$\boxed{\text{Selina}}$