* Xét tam giác DEC có
M là trung điểm DE
N là trung điểm DC
Suy ra, MN là đường trung bình của tam giác DEC, hay MN//EC (*) và MN=1/2EC (1)
* Xét tam giác BEC có
Q là trung điểm BE
P là trung điểm BC
Suy ra, PQ là đường trung bình của tam giác BEC, hay PQ//EC và PQ=1/2EC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
* Xét tam giác DEB có
Q là trung điểm BE
M là trung điểm DE
Suy ra, QM là đường trung bình của tam giác BED, hay MQ//DB (3).
Mà AB⊥AC (4)
Từ (1), (3) và (4) suy ra MN⊥MQ (5)
Tứ giác MNPQ là hình bình hành mà có một góc vuông suy ra MNPQ là hình chữ nhật.
Gọi II là giao điểm của hai đường chéo MP và QN
Suy ra IM=IN=IP=IQ (tính chất hình chữ nhật)
Nên các điểm M,N,P,Q đều cách đều II một khoảng cố định, suy ra M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn.
