a) Xét $ΔABH$ và $ΔCAH$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}$
$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ $\text(Cùng phụ với)$ $\widehat{BAH}$ $\text{)}$
$\leftrightarrow \text{ΔABH} \sim \text {ΔCAH} $
b) $\text{ΔABH} \sim \text {ΔCAH} $
$\leftrightarrow \frac{AH}{BH} =\frac{AC}{AB}$ (1)
Mặt khác ta có: $\frac{AN}{AH} =\frac{BM}{BH}=\frac{1}{2}$
$\leftrightarrow \frac{AN}{BM} =\frac{AH}{BH}$ (2)
Xét $ΔABM$ và $ΔCAN$ có:
$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (cmt)
$\frac{AN}{BM} =\frac{AC}{AB}$ (Từ (1) và (2))
$\leftrightarrow \text{ΔABM} \sim \text {ΔCAN} $ (đpcm)
c) $\text{ΔABM} \sim \text {ΔCAN}$
$\leftrightarrow \widehat{AMB}=\widehat{CNA}$
Kẻ $HK⊥AM$ tại K
Ta được : $\widehat{AMH}=\widehat{CNH}$ (Cùng bù với 2 góc bằng nhau)
Xét $ΔKMH$ và $ΔHNC$ có:
$\widehat{HKM}=\widehat{CHN}=90^o$
$\widehat{KMH}=\widehat{CNH}$ )cmt)
$\leftrightarrow \text{ΔAMH} \sim \text {ΔCNH}$
$\leftrightarrow \widehat{KHM}=\widehat{NCH}$
Mà $ \widehat{KHM}$ và $\widehat{NCH}$ là hai góc ở vị trí đồng vị
$\leftrightarrow HK//CN$
$\leftrightarrow CN⊥AM$ (đpcm)
