a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$+) \quad BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 12^2} = 6\sqrt5 \, cm$
$+) \quad AB.AC = AH.BC$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{6.12}{6\sqrt5} = \dfrac{12\sqrt5}{5} \, cm$
$+) \quad AB^2 = BH.BC$
$\Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{6^2}{6\sqrt5} = \dfrac{6\sqrt5}{5}\, cm$
$+) \quad BC = BH + CH$
$\Rightarrow CH = BC - BH = 6\sqrt5 - \dfrac{6\sqrt5}{5} = \dfrac{24\sqrt5}{5} \, cm$
b) Ta có:
$\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)
Ta được:
$\sin\widehat{BAH} = \sin\widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{6\sqrt5} = \dfrac{\sqrt5}{5}$
$\cos\widehat{BAH} = \cos\widehat{ACB} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{6\sqrt5} = \dfrac{2\sqrt5}{5}$
$\tan\widehat{BAH} = \tan\widehat{ACB} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$
$\cot\widehat{BAH} = \cot\widehat{ACB} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{6} = 2$
c) Từ $M$ kẻ $MN\perp AC \, (N\in AC)$
$\Rightarrow MN//AB$
Ta lại có: $M$ đối xứng với $B$ qua $H$
$\Rightarrow AH$ là trung trực của $BM$
$\Rightarrow AB = AM$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{CM}{CB}$
$\Leftrightarrow \dfrac{MN}{AM} = \dfrac{CM}{CB}$
$\Leftrightarrow \sin\widehat{CAM} = \dfrac{CM}{CB}$
