a,
Tứ giác $ADHE$ có:
$\widehat{DAE}=90^o$
$\widehat{HDA}=90^o$ ($HD\bot AB$)
$\widehat{AEH}=90^o$ ($HE\bot AC$)
Suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật.
$\Rightarrow A, D, H, E$ thuộc 1 đường tròn vì hình chữ nhật luôn nội tiếp.
b,
$ADHE$ là hình chữ nhật nên $OD=OH$
$\Rightarrow \Delta OHD$ cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{ODH}=\widehat{OHD}$
$\Delta BHD$ vuông tại D có $DM$ trung tuyến cạnh huyền nên $DM=\dfrac{1}{2}BH=MH$
$\Rightarrow \Delta DMH$ cân tại M.
$\Rightarrow \widehat{MDE}=\widehat{MDH}+\widehat{ODH}=\widehat{MHD}+\widehat{OHD}=\widehat{MHO}=90^o$
$\Rightarrow MD\bot DE$
Tương tự, $NE\bot DE$
Vậy $MD // NE$
c,
Từ chứng minh câu b, suy ra $\Delta DOM=\Delta HOM$ (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{MOH}=\widehat{MOD}$
Tương tự, $\widehat{NOH}=\widehat{NOE}$
$OM$, $ON$ là phân giác của 2 góc kề bù nên $OM\bot ON$
$\Delta OMN$ vuông tại O $\Rightarrow ON<MN$
Dễ thấy $N\in MC\Rightarrow MN<CM$
Vậy $ON<MN<CM$
